杭州交通信息网兔子的正常牙齿:一道初中几何题!急!!
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/04/29 18:49:08
△ABC冲AB=AC,AD为中线,P为AD上一点,过C作CF‖AB,延长BP交AC于E,交CF于F,求证:BP*BP=PE*PF
因为AB=AC，BD=DC，所以AD垂直平分BC。
连CP，则BP=CP，∠CBP=∠BCP。
又由∠ABC=∠ACB，
∠ABC-∠CBP=∠ACB-∠BCP，即∠ABP=∠ACP。
因为CF‖AB，所以∠F=∠ABP=∠ACP，
又因为公共角∠CPF，ΔCPE∽ΔFPC，
PF/PC=PC/PE，从而PF·PE=PC²=PB²。得证。
过P作PM//AB交BC于M，过P作PN//AC交BC于N
等腰三角形ABC，AD是中线，所以AD⊥BC
故：△PMD ≌△ PND
故 MD＝ND, 故BN=MC,NC=MB
则 BP:PE=BN:NC
PF: PB=MC:MB
故：BP:PE=PF:PB
故： BP*BP=PE*PF
连结PC.
因为pd为等腰三角形abc的中线,所以易知pb=pc.(由此问题转化为求证pc*pc=pe*pf,也就是证明三角形pcf相似于三角形pec)
已知一对公共角fpc=cpe(*)
下面证明另一对角pfc=角pce.
因为pb=pc,所以角pbc=角pcb
又因为abc为等腰三角形,所以角abp=角acp(即角pce)(1)
因为CF‖AB,所以内错角pfc=角abp(2)
所以由(1)(2)知,角pfc=角pce(**)
所以由(*)及(**)得,三角形pcf相似于三角形pec
所以有相似比:pc/pe=pf/pc
所以pc*pc=pe*pf
又因为pc=pb
所以pb*pb=pe*pf.结论得证.