狂野飙车8中端技术:数学难题问题1.5

此题结论中的“d`3+cn`2+bn+a”可能是提问者打字错误，我想应该改为“试说明:总可以找到这样的整数n,使dn^3+cn^2+bn+a也可能被5整除.”
具体证明如下：
由已知条件“am`3+bm`2+cm+d能被5整除,且数d不能被5整除”，可知m不能被5整除。也就是说m除以5可能的余数为1、2、3、4。
现分别证明无论m除以5的余数为1、2、3、4中的任一值，此结论都成立。
当m除以5的余数为1时，此时设m=5k+1.
将m=5k+1代入已知的代数式“am`3+bm`2+cm+d”，化简可得“a+b+c+d”能被5整除。
令n=5x+1,dn^3+cn^2+bn+a=d(5x+1)^3+c(5x+1)^2+b(5x+1)+a=5T+a+b+c+d,其中T表示一个关于a,b,c,d,x的代数式。
由此可知此时dn^3+cn^2+bn+a能被5整除。

当m除以5的余数为2时，此时设m=5k+2.
将m=5k+2代入已知的代数式“am`3+bm`2+cm+d”，化简可得“3a+4b+2c+d”能被5整除。
令n=5x+3,dn^3+cn^2+bn+a=d(5x+3)^3+c(5x+3)^2+b(5x+3)+a=5T+（3a+4b+2c+d)/3,其中T表示一个关于a,b,c,d,x的代数式。
由此可知此时dn^3+cn^2+bn+a能被5整除。

当m除以5的余数为3时，此时设m=5k+3.
将m=5k+3代入已知的代数式“am`3+bm`2+cm+d”，化简可得“2a+4b+3c+d”能被5整除。
令n=5x+2,dn^3+cn^2+bn+a=d(5x+2)^3+c(5x+2)^2+b(5x+2)+a=5T+（2a+4b+3c+d)/2,其中T表示一个关于a,b,c,d,x的代数式。
由此可知此时dn^3+cn^2+bn+a能被5整除。

当m除以5的余数为4时，此时设m=5k+4.
将m=5k+4代入已知的代数式“am`3+bm`2+cm+d”，化简可得“4a+b+4c+d”能被5整除。
令n=5x+4,dn^3+cn^2+bn+a=d(5x+4)^3+c(5x+4)^2+b(5x+4)+a=5T+（4a+b+4c+d)/4,其中T表示一个关于a,b,c,d,x的代数式。
由此可知此时dn^3+cn^2+bn+a能被5整除。

综上所述，知总可以找到这样的整数n,使dn^3+cn^2+bn+a也可能被5整除。