杭州交通信息网橱窗陈列设计:高一数学急~`````
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/04/29 14:01:33
已知一元二次方程a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0有两个相等实数根,求证:1/a,1/b,1/c成等差数列(abc不等于0
方程有两相等实根，于是：
[b(c-a)]^2-4ac(b-c)(a-b)=0
(bc)^2-2acb^2+(ab)^2-4bca^2-4abc^2+4(ac)^2+4acb^2=0
abc不等于0，左右各除(abc)^2,得
1/a^2-2/(ac)+1/c^2-4/(bc)-4/(ab)+4/b^2+4/(ac)=0
即(1/a+1/c-2/b)^2=0
即1/a+1/c-2/b=0
1/a-1/b=1/b-1/c
等差数列
分析，要证明1/a、1/b、1/c成等差数列，不妨设其公差为d，则1/b=1/a+d;1/b=1/c-d;两式相加得2/b=1/c+1/a（＊）故只需证明（＊）式成立即可。
由题意知Δ=[b(c-a)]^2-4a(b-c)*c(a-b)=0，化简再合并得
[b(a+c)]^2-4abc(a+c)+(2ac)^2=0,刚好是一个完全平方式
[b(a+c)-2ac]^2=0,得 b(a+c)-2ac=0,展开ab+bc=2ac,因abc≠0
两边除以abc得1/c+1/a=2/b，（＊）式成立，故得证。