杭州交通信息网电影的马赛克能去掉吗:一道均值不等式求最值问题
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/05/02 19:04:49
已知正数a,b，且4a^2+b^2=4,求y=√[a^2*(1+b^2)]的最大值
答案是5/4，要有具体过程，希望答案对了再发过程，谢谢。
答案是5/4，要有具体过程，希望答案对了再发过程，谢谢。
因为4a^2+b^2=4
所以4a^2+b^2+1=5
所以
5=4a^2+(b^2+1)≥2*√[4a^2*(b^2+1)]=4*√[a^2*(b^2+1)]
所以y=√[a^2*(1+b^2)]≤5/4
答案5/4
y=√[a^2*(1+b^2)]=y=√[a^2*(1+4-4a^2)]=y=√(5a^2-4a^4)
设a^2=x(x>0)
y=y=√(5x-4x^2),最大值为-(25/-4*4)=25/16,此时x=5/8>0,符合条件。
所以y的最大值为y=√(25/16)=5/4
主要依据不等式:[(a+b)/2]^2>=ab
[(4a^2+b^2+1)/2]^2>=4a^2*(b^2+1)
化简得
25/16>=a^2*(b^2+1)
可得出答案5/4
∵4a^2+b^2=4
∴5=4a^2+(b^2+1)≥2√[4a^2*(b^2+1)]=4√[a^2*(b^2+1)]
则y=√[a^2*(1+b^2)]≤5/4
4a^2+b^2=4
b^2=4-4a^2
y=√[a^2*(1+b^2)] 代入b^2=4-4a^2
得y=√[a^2*(1+4-4a^2)]
=√[5a^2-4a^4]
=√[-4(a^2-5/8)^2+4*(5/8)^2]
<=√4*(5/8)^2
=5/4