杭州交通信息网中国经济倒退原因:如何不用均值不等式证明
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/04/18 11:29:04
设X1,X2,....Xn为n个正数
且X1·X2·X3····Xn=1
则X1+X2+X3+···+Xn>=n
要求是不能用均值不等式呀...
问：那么怎样由x1+k>=2推到x1+x2+....+xn>=n?
且X1·X2·X3····Xn=1
则X1+X2+X3+···+Xn>=n
要求是不能用均值不等式呀...
问：那么怎样由x1+k>=2推到x1+x2+....+xn>=n?
(X1,X2,....Xn) > 0
X1*X2*X3*......*Xn = 1
令 K = X2*X3*......*Xn
故 X1 * K = 1 ................................(1)
可以假设 X1、K 是代数方程的根，则有：
(x - X1)(x - K) = 0
x^2 - (X1 + K)x + X1*K = 0 即：
x^2 - (X1 + K)x + 1 = 0
满足此方程具有实数解的条件为：
(X1 + K)^2 - 4*1 ≥ 0 .......(X1 + K) ≥ 2
取等号时，X1 = K = 1
结合(1)式，K = X2*X3* .... *Xn = 1
重复如上步骤，逐项剥离 X2*X3* .... *Xn = 1 各个因子，可以得到结论：
X1 + X2 + X3 + ...... + Xn ≥ n
上述“重复”操作，可以使用数学归纳法严密证明之，此略。
补充：
1. 取等号的时候等于1，不是等号则关系为大于啊；2. K仅仅是后边因子之积的记录符号，没有确定数值。
不等式的内容好象是:如果x1,x2,x3,...xn是n个正数,则(x1+x2+x3+...+xn)/n ≥n次根号下X1,X2,....Xn的乘积．
在本题中，X1·X2·X3····Xn=1
所以n次根号下X1,X2,....Xn的乘积等于1
即(x1+x2+x3+...+xn)/n≥1
所以X1+X2+X3+···+Xn≥n
X1+X2+X3+···+Xn>=n乘以(X1·X2·X3····Xn)的n分之1次方，等于1。