甸柳一中马晓棠:三道数学证明

这里有配图的证明过程
http://210.77.218.4:8080/RESOURCE/CZ/CZSX/SXBL/SXTS1020/2076_SR.HTM
例1 证明：三角形三内角平分线交于一点，此点称为三角形的内心．

已知：△ABC中，AX，BY，CZ分别是∠A，∠B，∠C的平分线，求证：AX，BY，CZ交于一点(图3－110)．

证 因为AX，BY是∠A，∠B的平分线，所以AX，BY必相交于一点，设此点为I(不然的话，AX，BY必平行，则∠BAX+∠YBA=180°，这是不可能的)，所以I与AB，AC边等距，I与AB，BC边等距，所以I与AC，BC边等距，所以I必在CZ上，所以AX，BY，CZ相交于一点．

说明 若证明几条直线共点，可先证其中两条直线相交，再证这个交点分别在其余各条直线上，则这几条直线必共点于此交点．

由于三角形三内角平分线的交点与三边距离相等，所以以此交点为圆心，以此点到各边的距离为半径作圆，此圆必与三角形三边内切，所以称此交点为三角形内切圆圆心，简称内心．

例2 证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，此点称为三角形的外心．

已知：△ABC中，XX′，YY′，ZZ′分别是BC，AC，AB边的垂直平分线，求证：XX′，YY′，ZZ′相交于一点(图3－111)．

分析 仿照例1的思考方法，先证XX′，YY′交于一点O，再证O点必在ZZ′上即可．

证 因为XX′，YY′分别是△ABC的BC边与AC边的中垂线，所以XX′，YY′必相交于一点，设为O(否则，XX′‖YY′，那么∠C必等于180°，这是不可能的)．因为OB=OC，OC=OA，所以OB=OA，所以O点必在AB的垂直平分线ZZ′上，所以XX′，YY′，ZZ′相交于一点．

说明 由于O点与△ABC的三个顶点A，B，C距离相等，所以以O点为圆心，以OA长为半径作圆，此圆必过A，B，C三点，所以称此圆为三角形的外接圆，O点称为三角形的外心．

例3 证明：三角形的三条中线相交于一点，此点称为三角形的重心．重心到顶点与到对边中点的距离之比为2∶1．

已知：△ABC中，AX，BY，CZ分别是BC，AC，AB边上的中线，求证：AX，BY，CZ相交于一点G，并且AG∶GX=2∶1(图3－112)．

证 设AX，BY交于一点G，作AG，BG中点D，E．由于X，Y分别是BC，AC的中点，所以XYDE，所以，四边形DEXY为平行四边形，所以

GD=DA=GX，GY=GE=EB，

所以

AG∶GX=2∶1，BG∶GY=2∶1．

同理，若BY与CZ相交于一点G′，必有

BG′∶G′Y=2∶1，G′C∶G′Z′=2∶1，

所以G′与G重合．所以三角形三条中线相交于一点．

书上有

高相交可以用4点共圆(同一法)

中线相交塞瓦定理

角平分线相交则更简单,记i到3边分别是id ie if..对任意2条角平分线所确定的i,就可以得到id=ie=if.剩下一条自然也过i