300345红宇新材:数学证明

来源:百度文库 编辑:杭州交通信息网 时间:2024/03/28 20:53:36
已知正数a,b,c满足a+b+c=abc,求证:a^n+b^n+c^n>3(1+n/2),(n为整数)

“a^n”表示a的n次方

要有具体过程

abc=a+b+c>=3(abc)^1/3
abc-3(abc)^1/3>=0
令(abc)^1/3=X。
X^3-3X>=0
X(X^2-3)>=0
因为正数a,b,c,abc>0.
所以(abc)^1/3=X>=根号3。
abc>=3根号3。

a^n+b^n+c^n>=3(a^nb^nc^n)^1/3=3(abc)^n/3=3(根号3)^n

(根号3)^n-1与n/2的函数图象可以看出,n/2的函数图象在下面。只在n=0时,2者相等。
所以(根号3)^n-1>=n/2
a^n+b^n+c^n>=3(根号3)^n>=3(1+n/2)

a^n+b^n+c^n>3(1+n/2)“a^n”表示a的n次方