杭州交通信息网高中有机化学方程式:如何证明托勒密不等式
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/05/01 17:15:49
托勒密定理
托勒密(Ptolemy，约公元85～165年)是古代天文学的集大成者．一般几何教科书中的“托勒密定理”(圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积)，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．
定理 如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积．
证 设四边形ABCD有外接圆O，AC和BD相交于P，∠CPD=α(图3－107)．若四边形ABCD的四边都相等，则四边形ABCD为圆内接菱形，即正方形，结论显然成立．若四边不全相等，不失一般性，设
‖BD，于是△ABD≌△EDB，从而AD=BE．
又
而 S四边形ABCD=S四边形BCDE，
所以
即
(AD×BC+AB×CD)sin∠EBC=AC×BD×sinα．
由于
∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC，
所以
AD×BC+AB×CD=AC×BD．
说明 (1)托勒密定理可以作如下推广：“在凸四边形ABCD中，
AB×CD+AD×BC≥AC×BD．
当且仅当四边形ABCD是圆内接四边形时，等号成立．”
由此可知，托勒密定理的逆定理也成立．
(2)托勒密定理的证明方法很多，这里采用的是面积证法．还可采用相似三角形或余弦定理证明，请读者自行完成．