调料配方还原多少钱:二次函数有哪些性质?

二次函数

（三）综合测试

二. 重点、难点：

知道二次函数的意义。

自变量的取值范围及对所含系数的要求有哪些异同，在比较中掌握二次函数的定义。

象的有关技巧（y=ax2的关键点是顶点及关于y轴的对称点）。

本节的重点是二次函数的概念，正确画出y=ax2的图象，初步掌握二次函数的性质。

函数的增减性是教学的难点。

函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

1. 会用描点法画出二次函数的图象。

2. 能利用图象或通过配方法确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置。

3. 会由已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式。

对二次函数画图象，首先应了解二次函数的图象是抛物线，其关键点是它的顶点 抛物线与x轴有交点），然后依对称性，再参照y=ax2的图象，就可迅速画出原二次函数的图象。

在学习二次函数的性质时，应结合函数的图象，对比各种不同形式及相同形式但所含常数不同时的各种情况，归纳总结出一定的规律，从而更好地理解函数的性质。

在函数性质的教学中，应充分调动学生的积极性，引导他们从增减性、对称性、最值、截距几个方面去发现性质，然后再逐渐条理化。

学会函数知识的应用，从而加强技能的训练和能力的培养。

用描点法画二次函数的图象，用一般式来研究二次函数的性质，求二次函数的解析式，是本节的重点。

怎样移动便得到另一个图象；由二次函数的图象得出二次函数的性质，这是一个数形结合的问题，以上三个问题是本节中的难点。

【典型例题】

解：列两个表

分别描点画图（如图13-10）。

解：列表

描点画图（如图13-11）。

一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下。

解：

〖知识小结〗

1. 函数y=ax2的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点是原点。当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方，在y轴的左右两侧同时向上无限延伸；当a<0的时候，抛物线y=ax2在x轴的下方，在y轴的左右两侧同时向下无限延伸。

2. 为了描点画出二次函数y=x2的图象，先要列出函数的对应值表，如何选取自变量x的值呢？不妨以零为中心，均匀选取一些便于计算的x值。

解：列表

分别描点画图（如图13-12）。

解：列表

分别描点画图（如图13-13）。

了一个单位。

例3. 在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象。

解：列表

分别描点画图（如图13-14）。

通过例1、例2、例3可知：

（1）a>0时开口向上，a<0时开口向下；

（2）对称轴是直线x=h；

（3）顶点坐标是

解：

对称轴为x=-3，顶点坐标为（-3，8）。

求这个函数的解析式，并求图象的顶点坐标，对称轴。

解：根据题意，有

把<1>代入<2>、<3>，得：

例6. 已知二次函数的顶点是（1，3）且它经过坐标原点，求这个函数的解析式。

分析：

解：

〔引申〕二次函数能解决哪些实际问题呢？我们看下面例题：

例7. 利用9m长的木料做一“日”字形窗框，它的长和宽各为多少时，面积最大？

分析：为了求出当长为多少时，面积最大，必须先列出y用长x表示的函数式，然后再利用有关函数图象的最高点（函数的最大值）来解决问题。

解：

〖知识小结〗

点、找到对称轴，根据a再考虑抛物线的开口方向。最后根据抛物线关于对称轴对称的特点，再选少数便于计算便于找的点，最后描点绘图。

（1）提出二次项系数；

（2）在提出二次项系数以后的式子，配上一次项系数一半的平方，同时减去该平方；

（4）将提出的二次项系数乘回去。

3. 在本节的学习过程中，经常需要观察图象的特点以及不同图象之间的相互关系，这正是培养学生观察力、理解力的好机会，应启发学生各抒己见，展开讨论，以得出比较满意的结论。

【模拟试题】

一. 填空题（每小题10分，共40分）

1. 函数 叫做x的__________，其中a、b、c是_________，且a_______，x是_______，它的图象叫______________。

2. 二次函数 的图象是抛物线，它的对称轴是_________，顶点是_________，当 时，抛物线 的开口向_________，当a<0时，抛物线 的开口向_________。

3. 抛物线 的开口_________，顶点坐标为_________，对称轴是_________，当x=_________时，有最_________点，其坐标是_________，当x_________时，y随x的增大而增大；当x_________时，y随x的增大而减小。

4. 二次函数 的抛物线开口方向是_________，顶点坐标为_________，对称轴是_________。当x=_________时，有最_________点，其坐标是_________；若使y随x的增大而增大，则x_________。若使y随x的增大而减小，则图象在对称轴的_________。

二. 解答题（每小题15分，共60分）

1. 先填表，再在直角坐标系中画出下列函数的图象。

x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4

2. 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是二次函数？为什么？

（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
3. 当m为何值时， 是二次函数，且图象的开口向下。

4. 已知抛物线 的开口向下，下列各点中，在抛物线上的点有哪些？为什么？

一. 填空题（每小题6分，共48分）

1. 抛物线 与 形状__________，位置__________。当a>0时，抛物线的开口__________；当a<0时，开口__________。

2. 抛物线 的对称轴是直线__________，顶点坐标是__________。

3. ，配方后可得到y=__________。因此，抛物线 的对称轴是__________，顶点坐标是__________。

4. 抛物线 向上平移两个单位，则抛物线的解析式为__________，它的顶点坐标为__________，它的对称轴方程为__________。

5. 抛物线 的图象向右平移2个单位，那么抛物线的解析式为__________，顶点为__________，对称轴为__________。

6. 如果函数 的图象过 ，则c的值为__________。

7. 如果函数 的图象的顶点的横坐标为1，则a的值为__________。

8. 把二次函数 化成 的形式，结果是__________。

二. 解答题（每题13分，共52分）

1. 在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象：

观察三条抛物线，并分别写出它们的开口方向，对称轴、顶点的坐标。

2. 说出下列函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标：

（1） （2）
（3） （4）
3. 利用配方法将二次函数 写成 的形式，写出抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴方程，并画出图象。

4. 已知函数 是一个二次函数，并且知道它的图象通过A（0，1），B（1，3），C（-1，1）三点，写出这个二次函数的解析式。

（三）综合测试

一. 填空题（每小题6分，共48分）

1. 函数 的自变量x的取值范围是__________。

2. 点（ ）关于x轴的对称点坐标是__________，关于y轴对称点的坐标是__________，关于原点的对称点的坐标是__________。

3. 第二、四象限角平分线上的点的坐标特征是__________。

4. y=__________x的图象是一条过原点及一点（ ）的直线，y随x的增大而__________，图象位于__________象限。

5. 函数 ，当 ，函数值是__________，当x=______时，函数值是0。

6. 抛物线 的开口方向是__________，顶点坐标为__________，对称轴是__________。

7. 抛物线 ，当x=__________时有最__________点，y=__________。

8. 函数 的图象，可由函数 的图象向__________平移__________个单位，再向__________平移__________个单位得到。

二. 选择题（每题6分，共12分）

1. 已知函数 （ ），则它的大致图象是（ ）

（第二（1）题）

2. 无论x取任何实数，函数 的值总是（ ）

A. 非负数 B. 负数 C. 正数 D. 不能确定

三. 解答题（每题10分，共40分）

1. 已知一次函数的图象与y轴交点的纵坐标 ，且直线过点（-2，3）。求函数解析式，画出函数图象；直线与坐标轴的交点坐标，当x取何值时y>0？求直线被坐标轴截得的线段长及截得的三角形面积；判断点（3，-7）是否在直线上？

2. 已知二次函数 ，当该二次函数图象经过点（3，6）时，确定m的值，并写出这个二次函数的解析式，求此二次函数与x轴的两个交点A、B及抛物线的顶点C所组成的三角形的面积。

3. 已知二次函数的图象经过点A（1，2）、B（0，-1）、C（6，7）三点，求它的解析式。

4. 求顶点为（1，4）并且过点（2，3）的抛物线的解析式。

【试题答案】

一.

1. 二次函数，常数， ，自变量，抛物线

2. y轴，原点，向上，向下

3. 向上，（0，0）， ，0，低，（0，0），
提示： 的图象应是以顶点为原点，关于y轴对称，开口向上的抛物线

4. 向下，（0，0）， ，0，高，（0，0）， ，右侧

提示：为了正确解答此题，审题后不妨先画一草图，根据图形回答问题，有助于解题。

二.

1. （略）

2. （1），（2），（7）是二次函数，（3），（5），（8）是一次函数。因为（1）（2）（7）中的函数符合 的形式（其中a、b、c是常数， ）。而（3）（5）（8）中的函数符合 的形式（其中k、b是常数， ），而（4）和（6）既不符合二次函数的定义，也不符合一次函数的定义，因此不是二次函数，也不是一次函数。

3.
提示：因为 是二次函数，所以 ，且 ，又因为图象的开口向下，所以 。若 （ ）。

4. 在抛物线上的点有C点、D点、E点和F点，因为抛物线 的开口向下，说明函数 是二次函数，且 ，所以， 且 ，则 ，原函数为 。而其中C、D、E、F点中的x、y满足 ，因此，此四点在抛物线上。

一.

1. 相同，不同，向上，向下

2.
3.
4.
5. 抛物线 的图象向右平移2个单位，那么解析式为 ，顶点为（2，0），对称轴为
6. 如果函数 的图象过 ，则C的值为 。

7. -2

提示：如果函数
8.
二.

1. 图象略， 开口向上，对称轴 ，顶点坐标（-1，0）； 开口向上，对称轴 ，顶点坐标（0，0）； 开口向上，顶点坐标（0，1），对称轴 。

2. （1） 的开口向下，对称轴为 ，顶点坐标（3，7）。

（2） 。

（3） 。

（4） 开口向上，对称轴为 ，顶点坐标
3. ，开口向上，顶点坐标 ，对称轴为 ，图象略。

4.
分析：二次函数的一般形式是 ，要确定这个函数，必须知道二次三项式里三个系数a、b、c的值。现在已知A、B、C三点在图象上，它们的坐标适合上面的方程，因此，可以列出关于a、b、c的三元一次方程组

解这个三元一次方程组就可以确定a、b、c

（三）综合测试

一.

1.
提示：要使 有意义，则 ，由于 是分母，

2.
3.
提示：可画一草图，从图中可知，直线上任一点的横坐标与纵坐标绝对值相等，符号相反，即互为相反数： 。

4. ，减小，二、四

5. 3，1或3

6. 开口向下，
7.
8. 右，2，下，5

二.

1. D

提示：

2. C

提示：
三.

1. 函数解析式 ，函数图象如下，直线与坐标轴交点的坐标（0，-2）、
当
直线AB是被坐标轴截得的线段长，

把

2.
提示：把点的坐标（3，6）代入 中，得到 ，

再将 代入原二次函数中得到
当 时，求得

顶点的纵坐标为

3.
提示：根据题意，有 ，解出a、b、c分别为

4.
提示：根据题意将 中，得到
又因为抛物线经过（2，3）点，将 ， ，代入 中，可求出 ，

回答的很好，中间有句：
切，你当我是妹妹过吗？我从来没见过像你这样的哥呆
是什么意思？