驳岸用松木还是杉木桩:求有理数的历史

数的发展

对于数发展史的缩写几乎是亵渎神圣的！自然数、整数、有理数、无理数、虚数、实数、复数，等等，是在何时、何地又是怎样演化的？

像大多的数学概念那样，它们的演进或由于偶然，或由于需要，或由于稀奇，或由于探索的需求，而游刃于某个思维领域．

很难想象，当试图解各种问题时该不该把它们限制在一个数的特殊集合里．我们承认许多问题是局限在某个特定的范围或区域，这就使得它伴随着特定的集合．但至少我们还应该知道解答中其他类型数的存在，而这样的问题正好成为一种练习．

虽然现在我们手上已经有了全部的复数，但我们不妨想象处理这样一个问题，即求方程x＋7＝5中的x值，但不知道负数．这时会有什么反应呢？

——这个问题有缺陷！

——没有解答！

——该方程是不正确的！(①原注：阿拉伯的教科书把负数介绍到欧洲．但16和17两个世纪里，欧洲的数学家不愿意接受这些数．N·楚亏特(15世纪)和M·斯提德尔(16世纪)将负数归为荒唐的数．虽然J·卡当把负数作为一种方程的解，但他认为它们是作为一种不可能的回答．甚至B·帕斯卡也说：“我知道人们无法理解，如果我们从零里拿去四，那么零还会留下什么？” )等等．但幸运的是，终有一些勇敢而自信的数学家，他们愿意冒险，并坚信解存在于一个未被发现的数的领域，而最终他们迈出了一步，在原来之外规定了一个新的数的集合．可想而知，对于解上述问题，创造出一个负数是何等地令人兴奋和不平常.同样令人感兴趣的是对新数的验证，看它是否也遵循已存在的数的集合的公理．

我们几乎不可能把时间都放在不同数的起源上，但我们能够设想类似的问题及新数发现的梗概．

在许多世纪中，世界上不同地区的人都只用到自然数．大概那时他们没有其他的需要．当然，他们各自对自然数书写的符号和体系，随着文化的不同而不同．

第一个零出现的时间可以追溯到第二个一千年，那时零出现在巴比伦的粘土板上．它最初是空位，后来用两个符号或表示零．但这里零更多地是作为一个位置的持有者，而不是作为一个数．

玛雅人和印度人的数的系统最早将零既作为数零，又作为位置的持有者．

有理数则是进化的第二阶段．人们需要分配一个整体的量，就像分一块面包那样．虽然没有设计表示这些数的符号，但古代人知道分数量的存在．例如，埃及人用“嘴巴”来写

希腊人则用线段的长度表示不同的数量．他们知道在数轴上的点并不只是由自然数和有理数占据．这时我们发现了无理数的介入．而留下来的问题是：

长为1的直角三角形时得到的结果．
——π是无理数吗？

矩形时得到的．

无须多说，我们知道那时人们已经用到了无理数．

历史揭示，在新数发现的过程中解决旧问题和创造新问题是同时发生的．一个新数集合的发现是一码事，但它所采用的定义和逻辑系统则必须是可接受的，而且应与多年演化中所采用的一些规则相共容．(② 原注：那时，对于整数、有理数、无理数和负数的逻辑基础还没有建立印度和阿拉伯人在他们计算中自由地运用这些数．他们用正数和负数作为资产和债务的值．他们的工作主要埋头于计算，而不太关心它们几何上的有效性．这是由于他们的算术不依赖于几何的缘故． )负数曾难于为欧洲的数学家所接受，这种状态甚至延续到17世纪．平方根的运用若不限于非负数的集合，那么式方程，它要求在其解中运用虚数．一个这样的方程就是x2＝-1．设计一个普遍性的集合，把所有的数都联系在一起，这样就引进了复数，它出现在像一元二次方程x2＋2x＋2＝0这类方程的解中．复数(形如a上面提到的数，都可以看成复数的一种类别．例如，实数是虚部为0的复数，而纯虚数则是实部为0但虚部不为0的复数．

用几何进行描述时，虚数和复数变得更为具体．像古希腊人在数轴上描述实数一样，复数可以用复平面来描述．每个复平面上的点都对应着一个且只有一个复数，反之亦然．这样，方程x5=1的五个解就能用图解表示出来．

由于复数可由二维的点描述，这似乎就有一个逻辑上的过渡问题，即问一问什么样的数可以描述高维空间上的点．我们发现了一种叫四元数的数，可以用来描述四维空间．现在留下的问题是——数到此为止了吗？我们说，随着新的数学思想的发展和应用，还会经常产生新数的！
参考资料：http://218.24.233.167:8000/RESOURCE/CZ/CZSX/SXBL/SXTS1060/5290_SR.HTM