杭州交通信息网白色浪潮 百度百科:请教一道高一数学题
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/05/01 07:14:35
已知：cosx+bsinx=b , 0<x<π/4
求：b的取值范围！！
求：b的取值范围！！
b = 1 ~ 1 + sqrt(2)
令b=y，得一关于(x,y)的方程，即一条曲线：
cosx + ysinx = y (0<x<PI/4)
微分后：
-sinxdx+dysinx+ycosxdx=dy
即
dy/dx=(ycosx-sinx)/(1-sinx)
极值必在驻点取得，即 dy/dx=0
==> ycosx-sinx=0 ==> y=tanx
代入原方程得sinx=1，x=PI/2 > PI/4
所以y=y(x)在0到PI/4上单调，最值在端点上
由
y(x=0)=1
y(x=PI/4)=1+sqrt(2)
得y的取值范围为1 ~ 1+sqrt(2)
另解：
令t=tan(x/2)
b = cosx / ( 1-sinx)
(1-t^2)/(1+t^2)
= ----------------
1-2t/(1+t^2)
= (1+t)/(1-t)
= 2/(1-t)-1
因为0<x<PI/4, 得0<t<sqrt(2)-1
b是t的增函数
所以1<b<1+sqrt(2)
b=Cosx/(1-Sinx)=tg(x/2)
0<b<tg(派/8)