lol代练说的th:急!有关垂心的一道证明题

分析：
要证明a/m+b/n+c/p = abc/mnp，两边同乘以mnp/abc得：np/（bc）+nm/（ba）+mp/（ac）=1，利用求三角形的面积的正弦定理，可以找到三角形两边的乘积的比与相应面积比的关系。利用面积的关系可得证。

证明：
设锐角三角形ABC的三条高分别为AD、BE、CF。
∠AFC+∠AEB=90+90=180.
所以∠BAC+∠FHE=180==>∠BAC+∠BHC=180==>sin∠BAC=sin∠BHC
S△ABC=1/2*AB*AC*sin∠BAC=1/2（bc*sin∠BAC）
S△BHC=1/2*BH*HC*sin∠BHC=1/2（np*sin∠BHC）=1/2（np*sin∠BAC）
所以S△BHC/S△ABC=〔1/2（np*sin∠BAC）〕/〔1/2（bc*sin∠BAC）〕=np/（bc）。
同理可证：
S△BHA/S△ABC=〔1/2（nm*sin∠BCA）〕/〔1/2（ba*sin∠BCA）〕=nm/（ba）。
S△AHC/S△ABC=〔1/2（mp*sin∠ABC）〕/〔1/2（ac*sin∠ABC）〕=mp/（ac）。
所以：
S△BHC/S△ABC+S△BHA/S△ABC+S△AHC/S△ABC=np/（bc）+nm/（ba）+mp/（ac）=1
所以两边同乘以abc得：anp+nmc+mpb=abc
所以两边同除以mnp得：a/m+b/n+c/p = abc/mnp

该证明问题转化即是anp+bmp+mnc=abc,其实是托勒密定理的一个推论.托勒密定理是:圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积.由托勒密定理可得到一个加强定理---四边形中的托勒密定理:对任意凸四边形ABCD则 AB*CD
+BC*AD>=AC*BD,当且仅当A,B,C,D四点共圆时取等号.(其证明过程你若想要,告诉我你的邮箱,我用Word文档给你画图证明)
有了这些定理,可以证明一个加强命题:
设D为锐角三角形内部一点(a,b,c,n,m,p沿用你的题里的),求证:anp+bmp+abc>=abc,并且当且仅当H为三角形ABC垂心时等号成立.
证明:作ED=//BC(指平行且等于),FA=//ED(E,F点均在B点所在的一边,而不在C点所在的一边),则BCDE和ADEF均是平行四边形.连BF和AE,显然BCAF也是平行四边形,于是AF=ED=BC,EF=AD,EB=CD,BF=AC.对四边形ABEF和四边形AEBD,应用四边形中的托勒密定理有AB*EF+AF*BE>=AE*BF,BD*AE+AD*BE>=AB*ED,即
AB*AD+BC*CD>=AE*AC, BD*AE+AD*CD>=AB*BC--------(1)
对上述(1)式中的前一式两边同乘DB后,两边同加上DC*DA*AC,然后注意到上述(1)式中的后一式,有
DB*DA*AB+DB*DC*BC+DC*DA*AC>=DB*AC*AE+DC*DA*AC.
即 DB*(AB*AD+BC*CD)+DC*DA*CA>=AC*(DB*AE+DC*AD)>=AC*AB*BC.
故DA*DB*AB+DB*DC*BC+DC*DA*CA>=AB*BC*CA
其中等号成立的充分必要条件是(1)式中的两个不等式中的等号同时成立,即等号当且仅当ABEF及AEBD都是圆内接四边形时成立,亦即AFEBD恰是圆内接五边形时等号成立.由于AFED为平行四边形,所以条件等价与于AFED为矩形(即AD垂直于BC)且角ABE=角ADE=90度,亦等价于AD垂直于BC且CD垂直于AB,所以所证不等式等号成立的充分必要条件是D为三角形ABC的垂心.
如果对图不清楚,也告诉我邮箱,我用Word画图给你.
(天天很高兴:我已经把你的问题回复到了你的知道的"我的消息"处,你可以去看看)

4楼的
汗一个．．．

词 目 诲人不倦
发 音 huì rén bù juàn
释 义 诲：教导。教导人特别耐心，从不厌倦。 词 目 三十而立
发 音 sān shí ér lì
释 义 指人在三十岁前后有所成就。
出 处 《论语·为政》：“吾十有五而志于学，三十而立。”

我做了那道题，但不知道为什么会错，请教！过程如下:
该三角形三条垂线与三边交点为D.(BC边上）E（AB）.F(AC)．
AEH and ABD 相似，可得AE/AD=m/c=EH/BD 同理得，
AF/EH=BF/BE=c/n
HF/DC=AF/AD=m/b
BE/HD=a/p=CE/CD
EC/CF=AE/HF=b/p
HD/FC=n/a=BD/BF
a/m=a/n*n/c*c/m=BF/BD*EH/AF*BD/EH=BF/AF同理得
a/m+b/n+c/p=BD/HD+BF/AF+CD/HD=BF/AF+BC/HD
abc/pmn=AD*BF/(HD*AF)
若a/m+b/n+c/p=abc/pmn成立则BC/HD+BF/AF=AD*BF/(HD*AF)
BC*AF=AH*BF但这怎么可能对任意锐角三角形都成立呢？

该证明问题转化即是anp+bmp+mnc=abc,其实是托勒密定理的一个推论.托勒密定理是:圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积.由托勒密定理可得到一个加强定理---四边形中的托勒密定理:对任意凸四边形ABCD则 AB*CD
+BC*AD>=AC*BD,当且仅当A,B,C,D四点共圆时取等号.(其证明过程你若想要,告诉我你的邮箱,我用Word文档给你画图证明)
有了这些定理,可以证明一个加强命题:
设D为锐角三角形内部一点(a,b,c,n,m,p沿用你的题里的),求证:anp+bmp+abc>=abc,并且当且仅当H为三角形ABC垂心时等号成立.
证明:作ED=//BC(指平行且等于),FA=//ED(E,F点均在B点所在的一边,而不在C点所在的一边),则BCDE和ADEF均是平行四边形.连BF和AE,显然BCAF也是平行四边形,于是AF=ED=BC,EF=AD,EB=CD,BF=AC.对四边形ABEF和四边形AEBD,应用四边形中的托勒密定理有AB*EF+AF*BE>=AE*BF,BD*AE+AD*BE>=AB*ED,即
AB*AD+BC*CD>=AE*AC, BD*AE+AD*CD>=AB*BC--------(1)
对上述(1)式中的前一式两边同乘DB后,两边同加上DC*DA*AC,然后注意到上述(1)式中的后一式,有
DB*DA*AB+DB*DC*BC+DC*DA*AC>=DB*AC*AE+DC*DA*AC.
即 DB*(AB*AD+BC*CD)+DC*DA*CA>=AC*(DB*AE+DC*AD)>=AC*AB*BC.
故DA*DB*AB+DB*DC*BC+DC*DA*CA>=AB*BC*CA
其中等号成立的充分必要条件是(1)式中的两个不等式中的等号同时成立,即等号当且仅当ABEF及AEBD都是圆内接四边形时成立,亦即AFEBD恰是圆内接五边形时等号成立.由于AFED为平行四边形,所以条件等价与于AFED为矩形(即AD垂直于BC)且角ABE=角ADE=90度,亦等价于AD垂直于BC且CD垂直于AB,所以所证不等式等号成立的充分必要条件是D为三角形ABC的垂心.