杭州交通信息网胆囊多发息肉样病变:关于数列的问题
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/05/09 12:40:37
设等比数列{An)的各项为实数，前n项的和为Sn，公比为q.
1.若S5,S15,S10诚等差数列，求证：2*S5,S10,S20-S10成等比数列.
2.若2*S5,S10,S20-S10成等比数列，试问S5,S15,S10一定成等差数列吗？请说明理由。
请写出详细过程，谢谢。
1.若S5,S15,S10诚等差数列，求证：2*S5,S10,S20-S10成等比数列.
2.若2*S5,S10,S20-S10成等比数列，试问S5,S15,S10一定成等差数列吗？请说明理由。
请写出详细过程，谢谢。
证明：若q不等于1
Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
2S15=S10+S5
2A1(1-q^15)/(1-q)=A1(1-q^10)/(1-q)+A1(1-q^5)/(1-q)
2q^15=q^5+q^10
2q^25=q^15+q^20
2q^10=1+q^5
2q^20=q^10+q^15
(S10)^2=A1^2(1-2q^10+q^20)/(1-2q+q^2)
2S5(S20-S10)=2A1^2(1-q^5)(-q^20+q^10)/(1-2q+q^2)=A1^2(-q^20+2q^25-2q^15+2q^10)/(1-2q+q^2)=
-(S10)^2+2S5(S20-S10)=A1^2(-1-3q^20+2q^25-2q^15+4q^10)/(1-2q+q^2)=A1^2(-1-2q^20-q^15+4q^10)/(1-2q+q^2)=A1^2(-1-2q^15+3q^10)/(1-2q-q^2)=A1^2(-1-q^5+2q^10)/(1-2q+q^2)=0
即2*S5,S10,S20-S10成等比数列
若q=1
则S5＝5A1 S15＝15A1 S10＝10A1
30A1＝5A1＋10A1＝15A1
A1＝0 与 An是等比数列矛盾
2.2*S5,S10,S20-S10 成等比数列，S5,S15,S10不一定是等差数列
反例如下An=1
S5=5
S10=10
S20=20
2S5=S10=S20-S10=10显然是等比数列
而S5=10 S15=15 S10=10
2*15不等于10＋5