pwc assessment 题库:勾股定理逆定理多个证法

已知△ABC的三边为a,b,c,且a∶b∶c=1∶1∶ .求三内角的比.

解答:

分析 将比例通过设k，使线段量化后，再判断三角形是否为直角三角形，是解决已知三边或三边之比的问题常用的方法之一.

解 设a=b=k，则c= k.a2+b2=2k2=c2 ∴△ABC为直角三角形，又a∶b=1∶1 a=b

∴两锐角分别为45°,45° ∴三内角比为1∶1∶2.

常见问题4: 勾股定理的逆定理2

问题：

如图3.17-1，△ABC中，∠A=30°,AB∶AC=2∶ ,求证AC⊥BC.

解答:

分析 本题即是求证△ABC为直角三角形是∠C=90°.可考虑用勾股定理逆定理.因而要设法求出BC边.可考虑作AB边上的高，将△ABC分为两个直角三角形，Rt△ACD和Rt△BCD,再利用勾股定理及已知条件求出BC的长.

证 ∵AB＞AC ∠C＞∠B

∴作CD⊥AB于D.设AB=2k，则AC= k(k＞0),

在Rt△ACD中，∠A=30° AC= k. ∴AD= k,CD= k AB=2k

∴BD= k.在Rt△BCD中 BC2=CD2+DB2=k2 ∴BC=k

∴BC∶AB∶AC=1∶2∶ BC2+AC2=k2+( k)2=4k2=AB2

∴△ACB为直角三角形 ∴AC⊥BC.

常见问题5: 勾股定理的逆定理3

问题：

求证：边长为m2-n2,m2+n2,2mn(m＞n)的三角形是直角三角形

解答:

分析 只需证明最长边的平方等于另两边平方和即可，∵（m-n）2≥0,

∴m2+b2≥2mn,m2+n2≥m2-n2,∴m2+n2为最长边.

证 (m2+n2)2=m4+2m2n2+n4

(m2-n2)2+(2mn)2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+2m2n2+n4

∴(m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2

∴所构成三角形为直角三角形.

常见问题6: 勾股定理的逆定理4

问题：

如图3.17-2，四边形ABCD中，BA⊥DA，BA=2,DA=2 ,DC=3,BC=5,求∠ADC.

图3.17-2

解答:

分析 利用已知Rt△ABD,求出BD的长和∠ADB的度数，再验证△BDC为直角三角形且∠BDC=90°是解决本题的基本思路.

解 连BD，∠A=90°,BA=2,DA=2 ∴BD=4. ∠ADB=30°,又DC=3，BC=5

∴BD2+DC2=32+42=52=BC2.

∴△BCD为直角三角形，∠BDC=90°

∴∠ADC=90°+30°=120°.

常见问题7: 勾股定理的逆定理5

问题：

已知三角形ABC中，AD为中线，M在AB上，N在AC上，∠MDN=90°,若BM2+CN2=DM2+DN2，求证AD2= (AB2+AC2)(图3.17-3)

图3.17-3

解答:

分析 将中线延长一倍，从而将分散的各线段集中到一起，以便充分利用条件，是本题之关键，又由结论的式子结构看，若∠BAC=90°,则AD= BC= ，则要证的结论显然成立.

证 延长BD至E，使BD=DE.连CE，NE，NM，则△BMD≌△CED.BM=CE，又DN⊥ME，MD=DE

∴MN=NE.DM2+DN2=MN2 ∴DM2+DN2=NE2

又DM2+DN2=BM2+CN2=EC2+CN2=NE2

∴∠ECN=90° △BMD≌△CED. ∠B=∠BCE ∴AB‖CE.

∴∠BAC=90°,AD为中线，AD= BC.AD2= BC2= (AB2+AC2).

常见问题8: 勾股定理的逆定理6

问题：

正△ABC的边长为 ，P为形内一点，PC=5.且PA2+PB2=25，求PA，PB.(图3.17-4)

解答:

分析 将三角形内的点与顶点构成的三角形经过适当的旋转，转到形外，而将PA、PB、PC集中到一个三角形来解决问题，是常用方法之一.

解 将△APB绕B点顺时针旋转60°,得△BP′C,则△ABP≌△CBP′

PB=P′B ∠PBP′=60° ∴PP′=PB,又P′C=PA.PA2+PB2=25 PC=5

∴PP′2+P′C2=25=52=PC2 ∴∠PP′C=90°又∠PP′B=60°

∴∠BP′C=150°,设PA=P′C=x,PB=P′B=y.

过B作BD⊥CP′交CP′延长线于D.

∴∠BP′D=30° ∴BD= ,P′D= y.

在Rt△BDC中BD2+DC2=BC2

∴（ ）2+( y+x)2=BC2=25+12 .

∴x2+y2+ xy=25+12 又x2+y2=25. ∴xy=12.

(x+y)2=25+24=49 ∴ 或

(x-y)2=25-24=1

∴ 或

∴PA,PB的长为3,4.

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这些问题是勾股定理逆定理的应用不能算是逆定理