宣城二中 2008届:一个很难的数学问题

有一个六位数，它的二倍、三倍、四倍、五倍、六倍还是六位数，并且它们的数字，都和原来的六位数的数字完全相同，只是排列的顺序不一样，求这个六位数。设这个六位数为X。X的首位数字一定是1。

为什么呢？

因为x的首位数字大于1，比如说是2，那5x和6x就是七位数了。

一想，x、2x、3x、4x、5x、6x的首位数字，应该一个比一个大，而且后面一个的首位数字，至少比前面一个的首位数字大1。这六个数的六个首位数字互不相同，按题意，就应该正好是x的六个数字了。

x的六个数字互不相同，首位数字是1，其余的数字都比1大，所以x的数字都不是0。

现在，把注意力转移到末位数字上来。

一想，x、2x、3x、4x、5x、6x的末位数字，也应该互不相同。

为什么呢？

因为，要是其中有两个数的末位数字相同，那么，这两个数的差的末位数字是0。可是，在x、2x、3x、4x、5x、6x中，任意两个数的差，必须是x、2x、3x、4x、5x中的一个。例如4x—2x＝2x，6x—5x＝x。既然它们的数字与x的数字相同，也就不能是0了。这样，六个数的末位数字，也就是x的六位数字了。其中，一个是1。

一想，1不是x的末位数字。因为x的首位数字是1。1也不是2x、4x、6x的末位数字。因为它们的末位数字是偶数，不可能是奇数1。1也不是5x的末位数字。因为5x的末位数字是5或者是0。这样，我们便得到1是3x的末位数字。

3x的末位数字是1，那x的末位数字是7。

x的末位数字是7，那2x、4x、5x、6x的末位数字分别为4、8、5、2。

x＝l××××7。其中的四个×，应该填上4、8、5、2。问题是谁先谁后呢？

一想，x、2x、3x、4x、5x、6x这六个数的第二位数字，也应该是互不相同的。

为什么呢？

要是其中有两个数的第二位数字相同，那这两个数的差的第二位数字是0或者是9。可是，这个差是x、2x、3x、4x、5x中的一个，它的数字只能是1、4、8、5、2、7，不能是0和9。所以，x、2x、3x、4x、5x、6x的第二位数字，也恰好是1、4、8、5、2、7这六个数字。

同样的道理，x、2x、3x、4x、5x、6x的第三位、第四位、第五位数字，也都是这六个数字。

这和求x有什么关系呢？

有关系。你看，

x+2x+3x+4x+5x+6x＝21x。列成竖式，把这六个六位数相加，得第一位数字的和是

1＋4＋2＋8＋5＋7＝27，第二位数字的和是27，…直到第六位数字的和也是27。所以，这6个六位数的和应当是

∵21x＝2999997；

∴x＝142857。

最后，说一下这道难题是怎样设计出来的：

＝0·142857142857142857…

x＝142857，是这个循环小数的循环节。 的小数部分，与 的小数部分相同，它们的循环节，也是由1、

4、2、8、5、7这六个数字组成。所以，用2、3、4、5、6去乘142857，得到的数还是由1、4、2、8、5、7组成，只是次序不同。

142857
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