孙伊涵上大学了:一个简单的数学概念问题

实数的定义需要集合论的知识,中学阶段可以将实数与数轴上的点有一一对应的关系
有理数是指可以表示成a/b的实数(其中a,b为整数)
无理数是指实数中除去有理数的剩下的部分
自然数的定义也要用到集合论的知识,但它的理解比较直观,即0,1,2,3...
自然数不包括负数,但包括0

有理数（rational number)：能精确地表示为两个整数之比的数．

如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数．

整数和通常所说的分数都是有理数．有理数还可以划分为正有理数，0和负有理数．

在数的十进制小数表示系统中，有理数就是可表示为有限小数或无限循环小数的数．这一定义在其他进位制下（如二进制）也适用．

全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示．

有理数集是实数集的子集．相关的内容见数系的扩张．

有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a,b,c等都表示任意的有理数）

：

①加法的交换律 a+b=b+a；

②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；

③存在数0，使 0+a=a+0=a；

④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；

⑤乘法的交换律 ab=ba；

⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；

⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；

⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a1=a；

⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1．

此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤．

有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a．由此不难推知，不存在最大的有理数．

值得一提的是有理数的名称．“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”．事实上，这似乎是一个翻译上的失

误．有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”．中国在近代翻译西方科学著作，依据日语

中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”．但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）．所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”．与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理．

数分实数和虚数.实数包括有理数和无理数,还有超越数.虚数就象根号里的数是负数这类数. 无理数是一种无限不循环的小数,他无法用分数进行表达.关于无理数的发现还有一个很悲壮的故事.无理数是古希腊的一位数学家(他的名字我记不得了)发现的,他在进行计算时发现,一个长度为1的正方形,其对角线的长度不知道该怎么表示,他觉得不可理解,很无理的,就取之为无理数.而当时毕达哥拉斯的思想--数是宇宙的根源,一切起源于数,数即是美,他所说的数是有理数--占着统治地位,他的门徒们哪儿允许有这种事情发生,他们对数学家进行追杀,结果在一个轮船上找到了他,并把他沉入大海.这算是人类史上的一个悲剧吧(就象布鲁诺被处以火刑一样). 我们初中数学所学的数轴,在数轴上,抽去超越数只剩下可怜的极有限的有理数和无理数了. 关于数的猜想最著名的就要算歌德巴赫猜想了:即任何一个大偶数(大于等于6的偶数)都可以表示为两个素数(质数)之和.这个猜想做得最好的当数陈景润了,他做到了1+2. 另一个很著名的要算费马大定理(本来是一个猜想,人们习惯称之为定理):即对于X的n次方+Y的n =Z的n次方,当n=2 时成立,当n大于等于3时该式是否成立?XYZ为正整数.当初费马在看一本书时想到了这个猜想,他说,由于书的空白太小,无法写完整个证明过程,所以没有写,过后他也就忘记去做了.他这一忘记就让后世的数学家们忙里一个多世纪了,19世纪末德国人还悬赏1万金马克来征求证明结果.几年前听说有一个数学家用计算机进行了证明,证明的过程有几十页,不知道是不是真的. 我想费马只需要一页的纸就能做好,后人真的需要用那么多吗? 在求一个数的方根的过程中，我们发现许多数的方根都不是准确值，而是近似值．

另外，圆周率π=3.141592653……，

又如：0.1010010001…(两个1之间依次多一个零)．

上述这些数都不是有限小数或无限循环小数，即都不是有理数，它们都是无限不循环小数．我们将，无限不循环小数，叫做无理数．

注意：(1)无理数应满足三个条件：①是小数；②是无限小数；③不循环．

(2)无理数不都是带根号的数(例如π就是无理数)，反之，带根号的数也不

1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,……这些简简单单的自然数，是我们从呀呀学语开始就认识的。它们是那样自自然然，因而显得平淡无奇。但我们如果认真研究一下这些数字，就会发现其中妙趣横生。聪明的数学王子高斯在小学的时候就会巧算自然数列之和，这正是由于他对自然数有深刻的了解。高斯小时候在德国的一所农村小学读书。数学老师是位从城里来的先生。他瞧不起穷人的孩子，从不认真教他们，甚至还打骂学生。有一天，他情绪很坏，一上课就命令学生做加法，从1一直加到100，谁算不到就不准回家。所有的孩子都急急忙忙地算起来，老师却在一边看小说，不一会儿，小高斯就算出了结果是5050。老师大吃一惊，奇怪他怎么算得这么快。原来，高斯并不是按1+2+3+4… …的顺序计算的。而是把1到100一串数，从两头向中间，一头一尾两两相加，每两个数的和都是101。例如：1+100、2+99、3+98… …，直到50+51，和都是101。这样，100个数正好是50对，因此，101× 50就得出5050的总和了。从此，老师再也不敢轻视穷孩子们了。他还从城里买来书，送给高斯，热心帮助他学数学，高斯进步得更快了。小高斯所用的方法，正是许多数学家经过长期努力才找到的等差数列求和的办法。这个故事人人皆知，它说明努力发现和巧妙利用规律是多么重要。现在让我们再看看自然数还有哪些有趣的性质。
我们前面提到过完全数和友好数，除了这两种有趣的数以外，自然数中还有一类数被称为"自守数"。所谓自守数就是自已和自己相乘以后得到的数，尾数不变。在自然数中凡末尾数是1、5和6的数，不论自乘多少次，尾数仍然是1、5、6。 例如：
21×21=421
21×21×21=9261
325×325=105625
6×6×6×6=1296
这样的结论是不是完全正确呢？我们可以用代数方法加以证明。让我们以末尾是6的数为例。这样的数可以表示成 ，这里a为任意自然数，那么
：
由于a是自然数，得到的结果也必定是自然数，可见它的个位必定是6。高次方情况下也如此，证明从略。用同样方法可以证明1、5结尾的数也是自守数。
如果把尾数取到两位，还有没有自守的性质呢？有。比如末尾是25和76的数就是自守数。

如果尾数取到三位、四位或更高位数，还能找到自守数吗？经过数学家的计算寻觅，发现尾数为376、9376、09376、109376、7109376……以及末尾是625、0625、90625、890625、2890625、……的数都是自守数。
让我们再来看看自然数中的奇数和偶数。
奇数数列是1,3,5,7,… n ,… （n为项数）偶数数列是2,4,6,8,… 2n ,…（n为项数）人们研究奇数，发现如下的性质：

这个结论可以用数学归纳法来证明，不过相当麻烦。其实我们只要画一张最简单的方格图，这个性质就一目了然了。图中除左下角的"? "代表"1"以外，每条虚线分别代表一个奇数。这张图清楚地说明了为什么自然数中奇数数列各项之和等于项数的平方。
自然数中偶数数列则有如下的性质：
2=1×2 2+4=6=2×3
2+4+6=12=3×4
2+4+6+8=20=4×5
… …
2+4+6+8+… +n =n（n+1）
不论用数学归纳法还是用画图方法也都能证明这个结论。此外，对所有的自然数，下面的规律也成立并且十分有趣：

自然数中还有一类数被称为回文数。回文数就是一个数的两边对称，如11，121，1221，9339，30203等等。回文数本身倒也没有什么奇特。不过人们发现大多数的自然数，如果把它各位数字的顺序倒置，再与原数相加，将得数再按上述步骤进行，经过有限的步骤后必能得到一个回文数：
如： 95+59=154
154+451=605
605+506=1111
1111就是一个回文数。
又如： 198+891=1089
1089+9801=10890
10890+09801=20691
20691+19602=40293
40293+39204=79497
79497又是一个回文数。
是不是所有的自然数都有这个性质呢？不是。例如三位数中的196似乎用上述办法就得不到回文数。有人用计算机对196用上述办法重复十万次，仍然没有得到回文数。但至今还没有人能用数学证明办法对这个问题下结论，所有"196问题"也成了世界性数学难题之一。经过计算，在前十万个自然数中有5996个数就像196一样很难得到回文数。
让我们再看一个有趣的数字现象：
随意取4个数，如8，3，12，5写在圆周的四面。用两个相领数中的大数减小数，将得数写在第二圈圆周 。如此做下去不久，必会得到4个相同的数。这个现象是意大利教授杜西在1930年发现的，所以叫作"杜西现象"。
在自然数中还有一些数，看起来貌不惊人，但却十分特别，令人百思不得其解。6174就是其中之一。
把6174各位数字从大到小排列，再从小到大排列，然后用大数减小数，结果还得到6174。
7641-1467=6174
有趣的是，不仅6174本身，就是任意一个四位数字，只要4个数字不完全相同，用上述办法重复多次，最后终能得到6174这个数。
例如：1234这个数，我们用下列步聚运算：
4321-1234=3087
8730-0378=8352
8532-2358=6174
再举一例，如2883，则有：
8832-2388=1998
9981-1899=7982
9872-2789=7083
7830-0387=7443
7443-3447=3996
9963-3699=6264
6642-2466=4176
7641-1467=6174
对三位数字，用这个办法最终将得到495。例如867，运算如下：
876-678=198
981-189=792
972-279=693
963-369=594
954-459=495
你还可以用其它数字来验证一下，看看对不对。
五位以上的数字，这个规律就不明显了。
最后再让我们看两组有趣的数：
第一组为：1 , 6 , 7 , 23 , 24 , 30 , 38 , 47 , 54 , 55
第二组为：2 , 3 , 10 , 19 , 27 , 33 , 34 , 50 , 51 , 56
这两组数有什么奇特之处呢？
首先，这两组数都没有公因数，而且两组数各自的和都是285。不过这算不上奇怪，拼拼凑凑，谁也弄得出来。不要着急，我们再往下看。如果计算一下它们的方幂之和，你就会大为惊奇。
因为数字太多，我们不能一一列下去，让我们把结果列出来．
方幂次数 每组数方幂和
0
1
2
3
4
5
6
7
8 10
285
11685
536085
26043813
1309753125
6734006805
3512261547765
185039471773893

从0次幂到8次幂，两组数的方幂和都相等，谁能不感到惊奇呢？不过算到9次方幂，两组数的方幂和就不相等了，这又是为什么呢？这两组有趣的数和它们有趣的性质吸引了不少人进行研究。
专门研究整数性质的数学分支叫作数论。数论中有许多看似简单实则相当困难，甚至近乎神秘的问题等待人们去解决，哥德巴赫猜想就是其

一楼的真是厉害啊！！
杀蚊子用牛刀啊！！！