换轮胎的工具 17mm:证明：1、任两个奇数的平方差都能被8整除。2、任意12个不同的自然数必有两个数的和或差是20的倍数。

1楼的第2题原理正确，但过程错误。
1、设两个奇数分别为2m+1和2n+1，且m>n
则: (2m+1)^2-(2n+1)^2=(2m+2n+2)(2m-2n)
=4(m+n+1)(m-n)
因为m+n+1和m-n中必有一个是偶数，所以任两个奇数的平方差都能被8整除。

2、第二个利用抽屉原理，12个不同的自然数除以20的余数共有20种可能，而如果有相同的余数，就做差； 如果任何两个余数都不同，则将余数之和是二十的做为一个抽屉，这样共有11个抽屉，其中1+19，2+18，……，9+11这9个抽屉余数之和都是20，另外还有余数为0和10的2个抽屉！显然12个自然数按照其余数放进这11个抽屉必至少有一个抽屉有2个自然数，从而证明了任意12个不同的自然数必有两个数的和或差是20的倍数。
其实,题目可以加强为:任意12个不同的自然数必有两个数的和是20的倍数。

1、设两个奇数分别为2m+1和2n+1，且m>n
则: (2m+1)^2-(2n+1)^2=(2m+2n+2)(2m-2n)
=4(m+n+1)(m-n)
因为m+n+1和m-n中必有一个是偶数，所以任两个奇数的平方差都能被8整除。

2、现有12个自然数：1，2，3，4，5，6，7，8，9，0，11，12
它们两两之间的和或差，都不是20的倍数，所以原命题不成立。

1 两个奇数的平方差可变为两个奇数的合与两个奇数的差的积，这就能被四整除了，两个奇数的差至少相差2（0除外）或2的倍数，所以能被8整除。

2 第二个利用抽屉原理，12各不同的自然数除以20的余数共有20中可能，而如果有相同的余数，就做差，如果余数之和是二十，则作和，这样就会有9个抽屉，12个数，所以任意12个不同的自然数必有两个数的和或差是20的倍数。

就帮你做1题吧，太麻烦了！

设两个数分别为2a+1 2b+1（a、b都是整数）
(2a+1)2-(2b+1)2=4a2+4a+1-4b2-4b-1=4(a2-b2)+4(a-b)

只需证(a2-b2)+(a-b)能被2整除
只需证(a-b)(a+b)+(a-b)能被2整除
只需证2a(a-b)能被2整除
显然可证！

此题得证！