杭州交通信息网现代化战争 单兵作战:高三数学题，难！
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/05/06 12:24:40
已知f(x)的定义域为R,且对于任意的x1,x2有｜f(x1)-f(x2)｜＜｜x1-x2｜
且g(x)=f(x)-x,g(2)=0
(1),证明g(x)为减函数
(2),若A1=1,f(An)=2An+1 -An,求证An＜An+1
注：An为一数列，An+1为第n+1项
只须证第二问
且g(x)=f(x)-x,g(2)=0
(1),证明g(x)为减函数
(2),若A1=1,f(An)=2An+1 -An,求证An＜An+1
注：An为一数列，An+1为第n+1项
只须证第二问
由f(x)=g(x)+x,得
f(An)=g(An)+An=2An+1-An
所以 g(An)=2(An+1-An)
所以，由此可得
g(An-1)+g(An-2)+…＋g(1)=2(An-A1)
所以
An＝A1+(g(1)+g(2)+…g(An-1))/2
An+1=A1+(g(1)+g(2)+…g(An-1))/2+g(An)/2
下面用反证法证明An＜2
①假设An＝2（n＞1）
｜f(Aj)-f(Ak)｜＝｜Aj-Ak｜＝0（j,k＞1）
与题设矛盾，所以An≠2
②假设An＞2（n＞1）
则易得An＞An+1
将f(x+1)=g(x+1)+x,f(x)=g(x)+x代入｜f(x1)-f(x2)｜＜｜x1-x2｜，可得
－2＜g(x+1)-g(x)＜0
所以A2=1+g(1)/2＜2
所以矛盾
所以An＜2
g(An)＞0
An+1-An=g(An)/2＞0
所以An＜An+1