杭州交通信息网潘军峰最新消息山西:余弦的余弦的余弦……→？
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/05/04 05:48:10
任给一个实数，对它作无限次的余弦，一定能得到一个常数，请证明之，并给出这个值，如能进一步的话，这个常数超越吗？
to some_thing ，所言甚是，这就是我出这个题的背景。平时闲着无聊，瞎弄计算器，你能用计算器表示出计算器所能表示的最大值吗？
to百科狐狸 ，为什么数学中有那么多定理，原本简单的东西
弄得越来越复杂，
to lsj_box 虽然你写的不够专业，可道出了这个值的特性，也道出了本题的意图，即此超越方程的解是超越数吗？
to 烛影Ж摇红,计算器按出的就是这个值，证明过程明快。
to ziyanshuyue，我猜你是没看上面这些大虾的回答吧 ，仅此足以矣，不必大动干戈。
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弄得越来越复杂，
to lsj_box 虽然你写的不够专业，可道出了这个值的特性，也道出了本题的意图，即此超越方程的解是超越数吗？
to 烛影Ж摇红,计算器按出的就是这个值，证明过程明快。
to ziyanshuyue，我猜你是没看上面这些大虾的回答吧 ，仅此足以矣，不必大动干戈。
这个值是0.739085133……至于它是否超越，我不知道。太难了。
证明过程很简单，用初等方法，即逼近。
在区间（0，∏/4）上：
函数f(x)=x单调递增，而g(x)=cosx单调递减。
∵f(0)<g(0)
f(∏/4)>g(∏/4)
∴在区间（0，∏/4）上，f(x)与g(x) 定交于一点.
答案是cos(x)=x的解。
证明：令cos(A)=A
由于-1<=cosx<=1
所以cos1<=cos(cosx)<=1
在上述范围内，
当x>A时，cos(x)<x<A;
当x<A时，cos(x)>x>A.
单调有界有极限，且无穷逼近A。
根据压缩映射定理，如果|f(x)|<1,x(k+1)=f(x(k))收敛到一个不动点，即x=f(x).余弦函数符合这个条件，所以收敛到一个常数。随便用一个数学软件做迭代就可以给出这个值的近似解。
用数学软件几何画板不但可以计算，还可以演示图象，
观察它的变化趋势....建议自己去试一下。
几何画板很小，800k，下载也不麻烦
用一个计算器不断按cos就可以了，不过不知道怎么证明