杭州交通信息网北京京剧院地址:高一数列问题
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/04/28 13:36:26
2.设{An}是首项为1的正项数列，且（n+1）A2（n+1）-nA2n+A（n+1）An=0（n=1，2，3，……），求它的通项公式An。
（A2（n+1）是数列中第n+1项的平方，nA2n是n倍的第n项的平方）
1.a_n={0 当n=2m时
{[(-1)^m]*[1/(2m+1)] 当n=2m+1时
2.因为(n+1）A2（n+1）-nA2n+A（n+1）An
=n[A2 (n+1)-A2n]+A2 (n+1)+A (n+1) An
=n[A (n+1)+An]*[A (n+1)-An]+A (n+1)*[A (n+1)+An]
=[A (n+1)+An]*[nA (n+1)-nAn+A (n+1)]
所以（n+1）A2（n+1）-nA2n+A（n+1）An=0
当且仅当A (n+1)+An=0或nA (n+1)-nAn+A (n+1)=0
而An是正项数列
所以A （n+1）+An=0是不可能的。
故nA (n+1)-nAn+A (n+1)=0
即A (n+1)=[n/(n+1)]*An
因此，An=[(n-1)/n]*[A(n-1)]
=[(n-1)/n]*[(n-2)/(n-1)]*[A(n-2)]
=[(n-2)/n]*[A(n-2)]
=...
=(1/n)*A1
=1/n
从而，通项公式An=1/n
1.a_n={0 当n=2m时
{[(-1)^m]*[1/(2m+1)] 当n=2m+1时
2.因为(n+1）A2（n+1）-nA2n+A（n+1）An
=n[A2 (n+1)-A2n]+A2 (n+1)+A (n+1) An
=n[A (n+1)+An]*[A (n+1)-An]+A (n+1)*[A (n+1)+An]
=[A (n+1)+An]*[nA (n+1)-nAn+A (n+1)]
所以（n+1）A2（n+1）-nA2n+A（n+1）An=0
当且仅当A (n+1)+An=0或nA (n+1)-nAn+A (n+1)=0
而An是正项数列
所以A （n+1）+An=0是不可能的。
故nA (n+1)-nAn+A (n+1)=0
即A (n+1)=[n/(n+1)]*An
因此，An=[(n-1)/n]*[A(n-1)]
=[(n-1)/n]*[(n-2)/(n-1)]*[A(n-2)]
=[(n-2)/n]*[A(n-2)]
=...
=(1/n)*A1
=1/n
从而，通项公式An=1/n