乐队演出主持词:半径为r的圆内切于一个等腰直角三角形，另一个半径为R的圆外切于此等腰直角三角形，求R:r

首先,设此等腰直角三角形的直角边长为a.那么斜边长为SQRT(2)*a.[ SQRT(2)表示根号下2]
因为三角形是直角三角形,所以外接圆的半径等于斜边长的一半(直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半.推论,直角三角形的外接圆圆心为斜边中点,半径为斜边的一半).
即外接圆的半径等于斜边长的一半=R=1/2*SQRT(2)*a

下面计算内切圆的半径r=?
由于内切圆的圆心是三个角的角平分线的焦点.而且等腰三角形底边(这里指斜边)上三线合一(中线,高线,角平分线三线合一).所以,我们可以在下面的这个三角形内利用三角函数计算内切圆的半径.
这个三角形由这三条线围成:(画不了图,楼主见谅)
1.斜边的一半.
2.45度角的角平分线的一部分.
3.斜边上的高线(即直角的角平分线)的一部分.
围成的小三角形是一个直角三角形,它的斜边长为大等腰三角形斜边长的一半.等于=1/2*SQRT(2)*a,它的一条直角边是内切圆的半径,对应的是22.5度的角.
所以r=[1/2*SQRT(2)*a]*tan(22.5度).

下面计算tan(22.5度)的大小.(半角正余弦公式)
sin(22.5度)=SQRT{[1-cos(45度)]/2}=1/2*SQRT[2-SQRT(2)]
cos(22.5度)=SQRT{[1+cos(45度)]/2}=1/2*SQRT[2+SQRT(2)]
所以tan(22.5度)=sin(22.5度)/cos(22.5度)=SQRT(2)-1
代入得到r=[1/2*SQRT(2)*a]*tan(22.5度)=1/2[2-SQRT(2)]*a.
最后求R:r=1/2*SQRT(2)*a : 1/2[2-SQRT(2)]*a
=SQRT(2)+1:1 .得解

题目不算难，你先画一个草图，注意内切圆圆心是三个角平分线的交点，外接圆圆心就是直角边的中点。
然后根据线段之间的三角函数关系，可以求得R:r=(√2+1):1

解：
∵ 内切圆圆心是等腰直角三角形三个角平分线的交点；外接圆圆心就是等腰直角三角形斜边的中点。
∴ R:r=ctg22.5°

内切圆圆心是三个角平分线的交点，其半径为r，外接圆圆心就是斜边的中点，其半径为R。设直角边为a
然后根据线段之间的三角函数关系，即√2a/2=3/2r和R=a/√2可以求得R:r=(√2+1):1

内切圆圆心是三个角平分线的交点，其半径为r，外接圆圆心就是斜边的中点，其半径为R。设直角边为a
然后根据线段之间的三角函数关系，即√2a/2=3/2r和R=a/√2可以求得R:r=(√2+1):1