英语故事app:已知半径为1的半圆内接的等腰梯形,其下底为半圆的直径,则这个梯形周长的最大值是多少?

来源：百度文库编辑：杭州交通信息网时间：2024/04/27 03:29:06

请尽量说明解法,谢谢.

设等腰梯形的底角α的余弦值为x，即x=cosα。则
腰长为2x,顶边长为2（1-2x*x),故周长y为
y=2+2*2x+2(1-2x*x)
=4(1+x-x^2)
对上面函数求导，
y'=4(1-2x)
令y'=0,得
y'=4(1-2x)=0
解得x=1/2.
将x=1/2代入上面函数得
ymax=4*(1+1/2-(1/2)^2)
=5
因此，这个梯形的最大周长为5。

：（1）作OE⊥AD，DF⊥AO，垂足分别为E、F，
由垂径定理可知AE=12AD=12x，
易证Rt△ADF∽Rt△AOE，
∴AFAE=ADAO，即AF12x=x1，解得AF=12x2，
∴CD=AB-2AF=2-x2，
∴y=2x+2+2-x2=-x2+2x+4，
∵OA=1，AF=12x2，
∴12x2＜1
∴0＜x＜2；

（2）∵y=-x2+2x+4=-（x-1）2+5，
∴x=1时，周长最大为5．

最大值为：5

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