贵州赫章县韭菜坪:圆台的表面积公式推倒

注：有几个重要步骤不能显示，所以请打开参考链接！！！）

圆台的体积和表面积

用平行于底面的平面切割圆锥时，上部分仍是圆锥，下部分成为圆台。

圆台的上下两个平面是平行的，侧面是圆锥的一部分，它显然是曲面。

切割高度为h的圆锥，做成圆台，将下底面的半径记这r1，上底面的半径记为r2；将高度h分为两个，圆台的高度记为h1，上圆锥部分的高度记为h2。

首先，由于两个相似形的面积比是相应项之比的平方，体积比是相应项之比的立方，参见图3．10有

另外，由h2∶h＝r2∶r1有r1h2＝r2h，

r1h2＝r2(h1+h2)，r1h2－r2h2

＝r2h1

将②代入①，

由此可知，如果知道上底面、下底面的半径和圆台的高度，即可求出圆台的体积，在此式中也有π。

下面求圆台的表面积(全表面积)。这样的问题用展开图描绘比较容易理解。

因此，参看图3－11。

因为上底面和下底面都是圆，所以其面积为πr22+πr12＝π(r22+r12)，侧面面积为

(侧面的面积)＝πr1l－πr2l2

＝π〔r1(l1+l2)－r2l2〕

＝π〔r1l1+l2(r1－r2)〕 ①

另外，因为r2∶r1＝l2∶l

及r2∶r1＝l2∶(l1+l2)

有r2(l1+l2)＝r1l2

r2l1+r2l2＝r1l2，r2l1＝l2(r1－r2 )

将②式代入①式，有

＝π(r1l1+r2l1)

＝πl1(r1+r2)

由此可知，为了求圆台的表面积，可求出上底面和下底面的半径及斜高(不是高度，而是母线的一部分)，即可像下面那样求表面积。

(表面积)＝(上、下两个圆的面积)+(侧面积)

＝π(r22+r12)+πl1(r1+r2)

＝π(r1l1+r22+r12+r2l1)

＝π｛r1(l1+r1)+r2(l1+r2)｝

在此，π也起着重要作用。

重新整理写出圆台的体积V和表面积S的计算公式：

S＝π〔r1(l1+r1)+r2(l1+r2)〕

详见：http://218.22.166.105:8000/RESOURCE/CZ/CZSX/SXBL/SXTS1052/4415_SR.HTM
参考资料：http://218.22.166.105:8000/RESOURCE/CZ/CZSX/SXBL/SXTS1052/4415_SR.HTM