杭州交通信息网梦精记 bt:帮我看一道数学题。。。有过程的，可以加分。。。
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/04/27 20:39:33
设a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x+√(x^2-1))(x≥1),请对参数a进行讨论，分别求出函数f(x)的反函数。
因为x≥1,
x+√(x^2-1)>=1
如果0<a<1,f(x)<=f(1)=loga1=0,
f(x)<=0,
如果a>1,f(x)>=f(1)=loga1=0,
f(x)>=0,
y=loga(x+√(x^2-1))
a^y=x+√(x^2-1)
a^y-x=√(x^2-1)
(a^y-x)^2=x^2-1
a^(2y)-2x*a^y+x^2=x^2-1
a^(2y)+1=2x*a^y
x=[a^(2y)+1]/2a^y
所以f(x)=log(x+√(x^2-1))的反函数是
f^(-1)(x)=[a^(2x)+1]/2a^x.
如果0<a<1,
f^(-1)(x)=[a^(2x)+1]/(2a^x). 定义域为x<=0.
如果a>1,
f^(-1)(x)=[a^(2x)+1]/(2a^x). 定义域为x>=0.
1.当a>1时，因为x≥1，所以f(x)≥0
设y=f(x),则有y=loga(x+√(x^2-1))
既a^y=x+√(x^2-1),
即a^y-x=√(x^2-1),
两边平方化简
a^y*a^y-2a^y*x=-1
即x=(a^2y+1)/2a^y
得到反函数f(x)=(a^2y+1)/2a^y,其中x≥0
2.同理，当1>a>0时,因为x≥1，所以f(x)小于等于0
同样化简方法，得到得到反函数f(x)=(a^2y+1)/2a^y,其中x小于等于0