中国人在美国按摩治疗:现有12个球,11个正常球,1个次品球(不知是重了还是轻了),要求用天平(只能称3次)找出那个次品球

把12个球分别编上号，并随意分成3组。不失一般性，分别为：

（1、2、3、4）..①；（5、6、7、8）..②；（9、10、11、12）..③.

第一称:把①与②组放在天平两端称。结果有两种情况：一种是平；另一种是不平，不妨假设组①重于组②。

先来看平的情况。则1-8号球全部正常。次品必在组③，即在9-12号球中。

在9-12号球中任选3个，不妨选（9、10、11）...④，存下12号球：在正常球1-8号球中也任选3个，不妨选（1、2、3）...⑤。

对④与⑤进行第二次称。结果有三：④＝⑤；④＞⑤；④＜⑤。

如果④＝⑤时，次品是12号球。第三次用12号球与任意一个正常球称，则可立马将12号次品球是偏重、还是偏轻正确判断出来 。

如果④＞⑤时，则次品球必在组④的3个球内，且重于正常球。这时，在9-11号3个球中任选两个（不妨设是9与10号球），再放到天平上称第三次。这时有三种情况：9＝10；9＞10；9＜10。

当9＝10时，次品必是11号球，它比正常球要重；当9＞10时，则偏重的9号球是次品；当9＜10时，偏重的10号球是次品。

同理可证④＜⑤时的情况。

对于另一种不平的情况改次再证明。 继续证明.

当不平时有两种情况，即组①＞组②；组①＜组②。

现在来讨论当组①＞组②的情况。即（1、2、3、4）重于（5、6、7、8）。

将组①与组②中的球进行调整，并重新编组：组①中留下3号球，拿出4号球，并把1、2球改放到组②中去，并添入正常球一个，不妨设为9号球；组②中留下7号球，拿出6、8号球，并把5号球改放到组①中去，编成新组：（5、3、9）…③；（1、2、7）…④。

现在进行第二称，即把组③和组④放在天平上称。结果有三：

③＝④；③＞④；③＜④。

当③＝④时。则次品球必在拿出去的几个球内，即在4、6、8号3个球内，且知4号球至少重于6号、8号球中的一个。这时用6号球与8号球进行第三次称，结果是6号＝8号；6号＞8号；6号＜8号。当6号＝8号时，则4号球是次品球，且它比正常球要重；当6号＞8号时，则次品是8号球，它比正常球要轻；当6号＜8号时，则次品是6号球，它比正常球要轻。

当③＞④时。说明:变动后的组仍保持着原有组的重轻本质，这是由组内保持不变的球造成的，则次品球必在3号与7号球之间，且知道3号球一定重于7号球。这时进行第三次称：从3、7号球中任选一与正常球称，不妨选3号球与正常球9号称。结果有：3号＝9号；3号＞9号；3号＜9号。当3号＝9号时，则次品是7号球，它比正常球要轻；当3号＞9号时，则次品是3号球，它比正常球要重；当3号＜9号时，又由3号＞7号，则3号与7号均是次品,这不可能，因为与条件中规定的次品只有一个矛盾。

当③＜④时。这是由交换了组别的球造成的,因此，次品球必在1、2、与5号之间，且5号球至少轻于1、2号球中的一个。这时用1、2号球进行第三次称，。结果有：1号＝2号；1号＞2号；1号＜2号。当1号＝2号时，次品是5号它比正常球要轻；当1号＞2号时，这时次品是1号，它比正常球要重；当1号＜2号时，又5号也小于2号，则次品是2号，它比正常球要重。

同理可证:组①＜组②。

有十二个小球特征相同，其中只有一个质量异常，要求用一部没有砝码的天平称三次，将那个质量异常的球找出来。

解：
设标准小球质量为w，并代表任意一个正常小球，将12个小球依次编号为a1,a2,...,a12，分组为：
a1,a2 ,a3 ,a4 为A1组
a5,a6 ,a7 ,a8 为A2组
a9,a10,a11,a12 为A3组

==（第一次）1选定任意2组--取A1,A2进行比较，如果
1 A1=A2 则A3组为异常球组
重新分组为:
B1:a9 a10
B2:a11 w
B3:a12 w

====（第二次）取B2 B3 任意1组--B2 与 B1 进行比较，如果
1.1 B1=B2 则 B1 B2 为正常组，B3(a12,w)为异常组，异常球为a12
1.2 B1 != B2 B3(a12,w) 为正常组,以B1<B2为例说明:
表达式 EXP0:a9+a10 < a11 +w

========（第三次）取a9 a10 进行比较,如果
1.2.1 a9 = a10 则 a11 为异常球
1.2.2 a9 != a10 则 a11 为正常球，根据 EXP0,得 a9+a10 <2w
所以异常球质量小于正常球，a9 与 a10 轻者即为异常球

2 A1 != A2,则A3(a9,a10,a11,a12)为正常组;以A1<A2说明：
得表达式1: EXP1: a1+a2+a3+a4<a5+a6+a7+a8
重新分组为:
B1:a1,a2,a3
B2:a4,a5,a6
B3:a7,a8,w

====（第二次）取B3与B2比较
2.1 B3=B2
a4=a5=a6=a7=a8=w 根据 EXP1 得
a1+a2+a3<3w 得异常球质量小于标准球

========（第三次）取a1 a2 进行比较,如果
2.1.1 a1 = a2 则 a3 为异常球
2.1.2 a1 != a2 则 a3 为正常球，a1 与 a2 轻者即为异常球

2.2 B3>B2 则B1为正常组
a1=a2=a3=w 根据 EXP1 得
3w+ a4 < a5 + a6 + a7 + a8
(B3<B2) a4 + a5 + a6 < a7 + a8 + w
相加 3w+2a4 + a5 + a6 < a5 + a6 + 2a7+2a8 + w
2a4 < a7+ a8
========（第三次）取 a7 a8 比较
2.2.1 a7 =a8 a4 为异常球,质量小于标准球
2.2.2 a7!=a8 a4 为正常球,可知 2w < a7+a8,得a7 a8 中重者为异常球

2.3 B2<B3 则B1为正常组
a1=a2=a3=w 根据 EXP1 得
3w+ a4 < a5 + a6 + a7 + a8
(B2<B3) a4 + a5 + a6 > a7 + a8 + w
转换: -a4 - a5 - a6 < - a7 - a8 - w
相加 3w - a5 - a6 < a5 + a6 - w
a5 + a6 > 2w
可知 异常球质量大于标准球
========（第三次）取 a5 a6 比较
2.3.1 a5 a6 中重者为异常球

由上述各节可知，a1,a2,...,a12 为异常球的概率均为1/12。

把球分成四份，先称两份，如果天平不稳，就重新拿一份和原来的任意一份称，称出有次品球的一份；如果天平很稳，就从原来的球中任意拿一份和新的一份称，称出有次品球的一份。再把有次品球的一份分成三份，称出次品球。

三楼你要称几次啊?你数过没有哦