半妖倾城第二季的结局:有关整除的超难题,请大侠帮忙,急!

因为X,Y,Z都是大于1的整数，且XY+1=aZ，XZ+1=bY，YZ+1=cX，所以很明显，X，Y，Z中一个是偶数，两个是奇数，同时X，Y，Z三者互素（这是个定理，11楼的证明过程是对的）。
在竞赛题中，这种题目应该是填空题，我们根据以上这两点就可以试用穷举法了。
令X为偶数，Y，Z为奇数（Y<Z)
令X=2，Y=3,则由XY+1=aZ推出Z=7，找到第一组正确解
令X=2，Y=5，则由XY+1=aZ推出Z=11，这与XZ+1=bY矛盾
。。。。。。
到此发现本题如果不是唯一解，穷举法已经无法解决。
保险起见，再往下分析：
由XY+1=aZ，XZ+1=bY，YZ+1=cX可以很快推出X（cX-1)=Y(bY-1)=Z(aZ-1),
在a，b，c都未定的情况下这个方程组理论上是没法解的，就算加上前面我们得出的结论X，Y，Z一偶两奇数，以及X，Y，Z三者互素，还是没法解。（就算真能解，应该也是非常繁杂的）
所以本题到此为止，就算真有多个解，我们已经解出一个了，多少还是能得到一部分分数的，留些精力做其他题目吧

另：楼上的解题过程有误
“∴a/(n1^2*n4)必须可以被a整除
且1/(n1*n4)+1必须可以被a整除”这步是推不出来的。

考虑到这是一竞赛题，最好的办法就是穷举法，因为在竞赛过程中时间是争分夺秒的，一刻都不能浪费，毕竟大家都是高手，所以此问题如果由方程式来求解的话，要花费太多的时间，所以答案应该是比较简单的，因而运用穷举法。如下：
xyz都是大于1的整数，那么最小为2，假设有下列情况：
2，2，2……不成立
2，2，3……不成立
2，2，4……不成立
2，2，5……不成立
2，2，6……不成立，并且2*2+1=5，z再继续增大的话也是不成立的，y值要增大
2，3，2……不成立
2，3，3……不成立
2，3，4……不成立
2，3，5……不成立
2，3，6……不成立
2，3，7……成立，ok！

xy+1=pz
yz+1=qx
zx+1=ry
(p,q,r 都是整数，x<y<z)
推出x,y,z互素。
(推理：由于x,y,z互素，x,y,z 有一数为偶，另两为奇。)
设x=2,y=3,可得到z=7
再证其为唯一一组解？

2,5,10

ss

烂多，给你举几个：2，5，10

设三个整数分别为a,b,c
由题意，可知;
a*b+1=n1*c......(1)
a*c+1=n2*b......(2)
b*c+1=n3*a......(3)
n1,n2,n3都为整数
由(1)得:
(a*b+1)/n1=c....(4)
将(4)分别代入(2)(3)得：
(a^2*b+a)/n1+1=n2*b
(a*b^2+b)/n1+1=n3*a
即
a^2*b/n1+a/n1+1=n2*b...(5)
a*b^2/n1+b/n1+1=n3*a...(6)
∵a,b,n1,n2,n3均为整数
∴a^2*b/n1+a/n1+1应该可以被b整除得n2
a*b^2/n1+b/n1+1应该可以被a整除得n3
∴a^2*b/n1可以被b整除才符合题意
a*b^2/n1可以被a整除才符合题意
同时a/n1+1可以被b整除才符合题意
b/n1+1可以被a整除才符合题意
由此可得：
a^2/n1需为整数 b^2/n1需为整数
a/n1+1=n4*b.......(7)
b/n1+1=n5*a.......(8)
n4,n5都为整数
由(7)得:
(a/n1+1)/n4=b
a/(n1*n4)+1/n4=b....(9)
将(9)代入(8)得：
[a/(n1*n4)+1/n4]/n1+1=n5*b
a/(n1^2*n4)+1/(n1*n4)+1=n5*a
∵a,n1,n4,n5均为整数
∴a/(n1^2*n4)+1/(n1*n4)+1可以被a整除得n5
∴a/(n1^2*n4)必须可以被a整除才符合题意
同时1/(n1*n4)+1必须可以被a整除才符合题意
∴1/(n1^2*n4)必须为整数
∵n1,n4均为整数
∴n1^2*n4=1
∴n1=1,n4=1才符合题意
∴1/(n1*n4)+1=2
∴2可以被a整除
∵a>1
∴a=2
将a=2，n1=1,n4=1代入(9)得：
a/(n1*n4)+1/n4=b
2/1+1/1=b
b=3
将a=2，b=3,n1=1代入(4)得：
(a*b+1)/n1=c
(2*3+1)/1=c
c=7
∵a^2/n1需为整数 b^2/n1需为整数
将a=2，b=3，n1=1代入得：
a^2/n1=2^2/1=4 b^2/n1=3^2/1=9
∴a^2/n1,b^2/n1都为整数符合题意
∴a=2,b=3,c=7即为所求