胀套锥度:一道数学题：f(x)=1/a-1/x (a> 0， x> 0)

来源：百度文库编辑：杭州交通信息网时间：2024/05/07 13:13:31

已知函数f(x)=1/a-1/x? (a> 0 x> 0)
（1）若f(x)在【m,n】上的值域是【m,n】，求a的取值范围，并求相应的m,n的值；
（2）若f(x)小于或等于2x在（0，+无穷）上恒成立，求a的取值范围。

(1)
设0<x1<x2
f(x1)-f(x2)=1/x2-1/x1=(x1-x2)/x1x2<0 故f(x)为增函数
f(m)=m ,f(n)=n
m=1/a-1/m n=1/a-1/n
m^2-1/a*m+1=0
n^2-1/a*n+1=0
m,n为方程y^2-1/a*y+1的两个不相等的实根
判别式B^2-4AC>0 1/a^2-4*1*1>0 a>0
故a的范围为0<a<1/2
m=[1/a-根号下(1/a^2-4)]/2 n=[1/a+根号下(1/a^2-4)]/2 (因为m<n)
(2)
f(x)小于或等于2x在（0，+无穷）上恒成立
即1/a<=1/x+2x (x>0)
求出1/x+2x在(0，+无穷)的最小值即可
1/x+2x>=2倍根号2 x=2分之根号2取等号
1/a<=2倍根号2 a>=4分之根号2

解:（1）因为-1/x是在x>0上单调递增,所以
f(m)=m,f(n)=n,
并注意0<m<=n ,a>0 ,
即
m=1/a-1/m
n=1/a-1/n
即
n=[1/a+√(1/a^2-4)]/2,
m=[1/a-√(1/a^2-4)]/2,
且
1/a-√(1/a^2-4)≥0
1/a^2≥4,
即
0<a≤1/2
（2）依题意有
f(x)=1/a-1/x 与g（x)=2x无交点
即
1/a-1/x=2x 没有两个相同的解
2x^2-(1/a)x+1=0 无二解
(1/a)^2-8≤0
即 a≤-（√2）/4(舍去)或（√2）/4≤a

一道数学题：f(x)=1/a-1/x (a> 0， x> 0) 已知:a f(x)+b f(1/x)=c x,求f(x). f(x)=x^2-x+c,|x-a|<c,求证|f(a)-f(x)|<2(|a|+1) 已知函数f(x)=x^2+2x+a/x,x∈[1,+∞) a(x^2-1)/x(a^2-1)=f(loga x) 的单调性 f(logaX)=(a/a*a-1)(X-1/X),其中a>0且a不等于1 已知函数f(x)=(a-x)/(x-a-1)的反函数f-1（x）的对称中心是（-1，3），则实数a=？已知函数f(x)=(a-x)/(x-a-1)的反函数f-1（x）的对称中心是（-1，3），则实数a=？已知函数f(x)=(a-x)/(x-a-1)的反函数f^-1 (x)的对称中心是(-1,3),则实数a=___. 已知函数f(x)=(a-x)/(x-a-1),若f-1(x)的图象的对称中是M(m,3),则a等于？