杭州交通信息网日本历年人均gdp:高中数学问题2
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/05/07 16:01:35
设a、b、c∈R,已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)= cx2+bx+a,(ac≠0),且当∣x∣≤1时, ∣f(x)∣≤2
(1) 求证：∣c∣≤2
(2) 求证：∣g(1)∣≤2
(3) 求证：∣x∣≤1时, ∣g(x)∣≤2
(1) 求证：∣c∣≤2
(2) 求证：∣g(1)∣≤2
(3) 求证：∣x∣≤1时, ∣g(x)∣≤2
证明:(1)依题意得:
当x=0时|f(0)|=|c∣≤2
即证
(2)依题意得:
当x=1时, |f(1)|=|a+b+c|≤2
当x=1时, ∣g(1)∣=|c+b+a|≤2
即证
(3)依题意得:
g(1/x)=c/(x^2)+b/x+a=(ax^2+bx+c)/(x^2)=f(x)/(x^2)
(这是g(x)和f(x)之间的联系,很关键!)
当∣x∣≤1时，x^2≤1,∣f(x)∣≤2
满足当∣x∣≤1时, ∣f(x)∣≤2,
可推出∣x∣≤1时, ∣g(x)∣≤2.
(1)依题意，当x=0时,
|f（0)|=|c∣≤2
即证
(2)当x=1时,
|f(1)|=|a+b+c|≤2
而∣g(1)∣=|c+b+a|≤2
即证
（3）注意到：g(1/x)=c/(x^2)+b/x+a=(ax^2+bx+c)/(x^2)=f(x)/(x^2)
因为，当∣x∣≤1时，x^2≤1,∣f(x)∣≤2
所以，此时|g(1/x)|=|f(x)|/(x^2)≤2
即证