杭州交通信息网洪桥集团:数学初三竞赛提问（分式），谢谢！
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/05/06 04:39:09
问题是：
已知有理数a,b,c满足a+b+c=0,abc=8,判断(1/a)+(1/b)+(1/c)的符号。
请详细一点！万分感谢！
已知有理数a,b,c满足a+b+c=0,abc=8,判断(1/a)+(1/b)+(1/c)的符号。
请详细一点！万分感谢！
a b c为两负一正这是可以肯定的,不妨设a为正,则b c一定为负.将(1/a)+(1/b)+(1/c)通分,得ab+bc+ac/abc,将分子处理一下,得a(b+c)+bc/abc.
下面,b+c=-a, bc=a/8,所以b c 是方程X^2+aX+8/a=0 的两根.由于a b c 是有理数,所以方程有实根,则判别式大于等于0,即a^2-32/a大于等于0,得a^3大于等于32.
由于(1/a)+(1/b)+(1/c)=a(b+c)+bc/abc=(-a^2+8/a)/8=(-a^3+8)/8a
由于a^3大于等于32,所以分子为负,而分母8a为正,所以得到结论:
(1/a)+(1/b)+(1/c)为负
另种解法:
a b c为两负一正这是可以肯定的,不妨设a为正,则b c一定为负.将(1/a)+(1/b)+(1/c)通分,得ab+bc+ac/abc
分母大于0
然后由a+b+c=0得(a+b+c)^2=0
展开得a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=0
从而ab+bc+ac=-(a^2+b^2+c^2)/2. 由于a b c 均不为0,所以(a^2+b^2+c^2)大于0,所以-(a^2+b^2+c^2)/2小于0
得到(1/a)+(1/b)+(1/c)为负
由题可知
A B C中有2个为负数
且a+b+c=0所以2个负数的和的绝对值应等于正数的绝对值
结果与楼上一样``小于1
因为a+b+c=0，所以a,b,c中必有一个正数，两个负数，且两负数之和为一正数的相反数，又因为abc=8，所以两负数的绝对值要小，所以两负数的倒数要大一些，所以，所求式值为负数。
负