杭州交通信息网衡水中学在山东招生吗:高中数学竞赛试题函数
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/04/28 16:55:40
我想出来一个解答，一定要给分啊！呵呵
首先，是存在的。
下面构造这个集合：
取x1,x2,x3...xn 为自然数集合的子集, x1<x2<x3...<xn，比如就取x1=1,x2=2,x3=3；
取yi = xi^2
相当于在抛物线的正半区采了一堆点。
以下证明：
(1)无理数： 任取i<j，
则(xi,yi)与(xj,yj)距离为（下面sqrt表示开平方，^表示乘方）
sqrt((xj-xi)^2 + (yj-yi)^2)
= sqrt( (xj-xi)^2 + (xj^2-xi^2)^2 )
= sqrt( (xj-xi)^2 + (xj-xi)^2 * (xj+xi)^2)
= (xj-xi) * sqrt( 1+(xj+xi)^2 )
由于xj-xi>0，是正整数，
xj+xi是正整数，所以sqrt(1+(xj+xi)^2)是无理数，所以两点距离为无理数。
(2)非退化： 任取i<j<k，三点在抛物线上，显然非退化
(3)面积为有理数： 任取i<j<k，画图就可以求出面积：
三角形面积 = 1/2 * (xk-xi)*(yk-yi) - 1/2 * (xj-xi)*(yj-yi) - 1/2 * (xk-xj)*(yk-yj) - (xk-xj)*(yj-xi)
这里面全是有理数的四则运算，所以结果也是有理数。
赞
存在
cunzai
不会证明!但肯定存在!
则(xi,yi)与(xj,yj)距离为（下面sqrt表示开平方，^表示乘方）
sqrt((xj-xi)^2 + (yj-yi)^2)
= sqrt( (xj-xi)^2 + (xj^2-xi^2)^2 )
= sqrt( (xj-xi)^2 + (xj-xi)^2 * (xj+xi)^2)
= (xj-xi) * sqrt( 1+(xj+xi)^2 )
由于xj-xi>0，是正整数，
存在