杭州交通信息网东莞岭南学校的电话:请做一道数学题,非常感谢
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/05/03 08:43:28
已知数列{an}为正项数列，且满足a1=1，Sn=1/2（an+1/an）
求它的通项an
要详细过程！！
求它的通项an
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a1=1 a1+a2=S2=1/2（a2+1/a2） 因为数列{an}为正项数列,所以解得a2=√2-1或a2=-√2-1(舍去) s2=√2 又a3=S3-S2=1/2(a3+1/a3)-√2 解得a3=√3-√2
由此猜测an=√n-√n-1
数学归纳法证明:
1.当n=1时,a1=√1-√0=1成立
2.设n=k(k大于等于1)时成立,即ak=√k-√k-1,Sk=√k
则当n=k+1时ak+1=Sk+1-Sk=1/2(ak+1+1/ak+1)-√k
即(ak+1+√k)^2=k+1 又ak+1>0 所以ak=√k+1-√k
因此an=√n-√n-1对n=k+1成立
3.由1.2可知an=√n-√n-1对所有正整数n成立
所以an=√n-√n-1
2Sn=an+1/an 2Sn-1=an-1+1/an-1
2Sn-2Sn-1=2an=an-an-1+1/an-1/an-1
倒出关系式 列项相加