冯小刚导演春晚:困惑：1-1/2+1/3-1/4+1/5-........=？

这个问题在学习高等数学之前确实令人困惑，问题的关键之处在于无穷项求和没有通常有限项下的的加法交换律和结合律。
我们先举一个简单的例子：
S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ……
这个无穷级数如果使用结合律，似乎可以得到：
S1 = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ……
= 0 + 0 + 0 + 0 + ……
= 0
但同样用结合律，又似乎可以得到：
S2 = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ……
= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + ……
= 1
这就出现了矛盾！
如果承认加法交换律，形势将更加严峻。
比如说，我们先把上面式子中的第1个负数项调换到第2个正数项后，再把第2个负数项调换到第4个正数项后，再把第3 个负数项调换到第6个正数项后，……就有
S3 = 1 + 1 - 1 + 1 + 1 - 1 + 1 + 1 - 1 + ……
无论如何（不管怎样再用结合律运算或者一项一项相加来看），这个级数的和都是趋于正无穷大的。又出现矛盾！
事实上，无穷项求和的运算法则十分不同于有限项的求和，尤其是这些兼有正、负项的级数，不能随意使用加法的结合律和交换律。对它们的严格运算和表述，应该依赖于分析学中的“ε-N”语言，以后如果学到，就会明白如何运算。顺便说一句，上面的级数S是不存在极限的，换句话说，它不等于任何数。

再纠正一下dingzs的一点问题。dingzs在概念上有些混淆，把无穷多项这个“无穷多”和求和结果的“无穷大”混淆了。前者是集合论中的无穷基数问题，后者则是一个分析学中的极限概念。所谓“无穷多”或者说无穷基数，是指一个无穷集合的元素“个数”（集合论中叫做“基数”）；而“无穷大”是指一个变量，或一个数列的不断增大的“趋势”，其内涵是“无界”（就是没有最大，只有更大），不是一个确切的数。

无穷基数有无穷基数的运算，它们可以比较“大小”，可以求和、求幂。
无穷大，作为一个极限，可以有极限的运算，它们可以相加、相乘（结果仍是无穷大），相减没有定义，相除值不定（可能是无穷大、无穷小或有限数），等等。

x1算错了，不等于x/2
"x1=1/2+1/4+1/6+1/8+1/10+....=(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+..)/2=x/2 "
这个等式中的括号里面的项数只有x的一半，不能等于x

简单的举个例子，n=10的情况代进去试一下就知道了。

milksea说的有道理，做教师应该没问题，概念吃的透！

lim n→∞∑(-1)^(n-1)/n=ln2
lim n→∞∑(-1)^(n-1)/n是条件收敛级数，不是绝对收敛级数．故交换无限多项会影响其和．

x2=x-x1=x-x/2=x/2
这个能推理出来么?