林丹用的球拍:平面上4点不共圆.以其中任3点作圆,得4个圆;能否找到这样的4点,对任1圆,使其均在圆内或圆上.

不存在,我想我的证明是这样的:(为了叙述严谨一点,比较罗嗦:)如果随着叙述画张图,就非常清楚了.

设这4个点为ABCD 其中构建的圆为 ABC ABD BCD ACD 4个 我取AB两点,则圆ABC 和 ABD 为相交的关系.

从拓扑学里可以证明,相交的两个圆把平面分成4个区域,外部,ABC特有的部分,ABD特有的部分,(像两个月亮),和重合的部分(像凸透镜).它们间的关系非常直观,只要把图画出即可,但是严格的拓扑证明是非常繁的(如Jordan曲线定理),这里,我应用一点直观的结论而不作严格的证明.

我在图上画的两个圆心的连线为水平方向,那么，图上,通过AB两点共有4段弧,从左向右依次标记为1,2,3,4.

容易看出,C和D一定分别在2和3弧上(或3和2弧). 因为,1或4弧上的点都在另一个圆的外部.这样,我们连接CD,延长线交1弧为E,交4弧为F.这样,在这条线上的4个点顺次为E,C,D,F(或E,D,C,F,我取前者)

现在的问题变成,圆ACD是否覆盖了B点,(或BCD是否覆盖了A点).结论是一定不覆盖,可以证明,圆ACD不覆盖弧CBF上除了C以外的任何一点.证明如下:

反证法.圆ACD与弧CBF的关系有3:
1)交于C和另一点,设为G. 记原来的圆ABC的圆心为U,而圆ACD的为V,则线段AV=CV=GV, AU=CU=GU, 由ACG三点决定了两个不同的圆,矛盾.
2)只交于C一点,但完全覆盖弧CBF.这也是不可能的,因为D在圆ABC内部.这个结论不难证明,但叙述起来会比较麻烦.
所以,只剩下一种情况:
3)只交于C,整个弧除了C点都在圆ACD 的外部,这样,B点也就必然在ACD的外部.

当然可以了。
比如下面的.和‘ ’就是点 .
‘ ’

‘
基本上差不多，你可以试着画下来。

这样四个点是不存在的，这是个拓扑问题，四点必须满足共圆条件才可以，可用反证法证明。
我看了Damonte - 魔法师 的论述，除了两个细节未完全证明外，其他的很完美。

先画出4个相交的圆在点出来符合要求的4个点就行了

yun