先进加工技术与装备:高等代数对称式,轮换式,交代式概念

二、齐次、对称、轮换、交代多项式

定义6 若以标准形式给定的多项式

f(x，y，…，z)=a1xk1…zkn＋a2xl1…zln＋…＋atxs1…zsn的所有项有相同的次数m，即那么f(x，y，…，z)叫做m次齐次多项式(简称齐次式)．

任一单项式或非零数都可看作是齐次多项式．

例如，多项式ax＋by是关于x，y的一次齐次多项式 ；x2＋2xy＋y2，x2-2xy等是二次齐次多项式；x2－xy2＋4不是齐次多项式．

齐次多项式有下面的重耍性质：

两个齐次多项式的积仍是一个齐次多项式，其次数等于两个

因式的次数和．

定义7 设f(x1，x2，…，xn)是n元多项式，如果对于任意的i，j(1≤i＜j≤n)都有

f(x1，…，xi，…，xj，…，xn)=f(x1，…，xj，…，xi，…，xn)，

那么f(x1，x2，…，xn)叫做对称多项式(简称对称式)．

也就是说，如果一个多元多项式中任意交换两个变数的位置后，原多项式不变，那么它就是一个对称多项式．

例如，多项式x3＋y3＋z3－3xyz，x(y＋z)＋y(z＋x)＋z(x＋y)是关于x，y，z的对称多项式．

在高等代数里，关于对称多项式，我们已经知道：

(1)下面的n元多项式称为基本(或初等)对称多项式：

σ1=x1＋x2＋…＋xn，

σ2=x1x2＋x1x3＋…＋x1xn＋x2x3＋…＋x2xn＋…＋xn-1xn，

……

σn＝x1x2…xn．

(2)任一对称多项式f(x1，x2，…，xn)都能表示成关于基本对称多项式σ1，σ2，…，σn的多项式，并且表法是唯一的．

(3)两个有相同变数的对称多项式的和、差、积、商(可整除时)仍是对称多项式．

定义8 设f(x1，x2，…，xn)是n元多项式，如果对于任意的i，j(1≤i＜j≤n)都有

f(x1，x2，…，xi，…，xj，…，xn)

=-f(x1，x2，…，xj，…，xi，…，xn)，

那么f(x1，x2，…，xn)叫做交待多项式(简称交待式)．

也就是说，如果多项式中对换其中两个变数字母后原多项式仅改变符号，那么这个多项式就叫做关于这两个变数字母的交代式．

把一个多元多项式中的变数字母按照某种次序排列，同时把第一个变数字母换成第二个变数字母，第二个变数字母换成第三个变数字母，依次类推，直至最后一个变数字母换成第一个变数字母为止，这种变换叫做轮换．

定义9 如果一个多项式中的变数字母按照任何次序轮换后，原多项式不变，那么称该多项式是轮换多项式(简称轮换式)．

例如，x2y＋y2z＋z2x， (x-y)3＋(y-z)3＋(z-x)3，

x3＋y3＋z3， (x-y＋z)(y-z＋x)(z-x＋y)

等都是轮换对称多项式．x＋y＋z-ω不是轮换对称多项式．

由定义7与定义9可知，对称多项式一定是轮换对称多项式．例如k(x＋y＋z)，x3＋y3＋z3等对x，y，z来说，既是对称多项式，又是轮换对称多项式．但是轮换对称多项式不一定是对称多项式．例如x2y＋y2z＋z2x则是x，y，z的轮换对称多项式，但不是对称多项式．

容易证明，关于对称多项式、轮换对称多项式、交待多项式有下面一些性质：

(1)两个轮换对称多项式的和、差、积、商(能整除的)仍是轮换对称多项式．

(2)两个交待多项式的和、差仍是交待多项式；它们的积、商(能整除的)则是对称多项式．

(3)对称多项式与交待多项式的积、商(能整除的)是交代多项式．

一、交代式：如果多项式中对换其中两个变数字母后原多项式仅改变符号,那么这个多项式就叫做关于这两个变数字母的交代式。

二、对称式：如果一个多元多项式中任意交换两个变数的位置后，原多项式不变，那么它就是一个对称多项式．

三、轮换式：如果一个多项式中的变数字母按照任何次序轮换后，原多项式不变，那么称该多项式是轮换多项式(简称轮换式)．