路虎揽胜星脉:数学思考题

来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/04/30 15:39:31
已知：四边形ABCD的四边的长分别为a,b,c,d,且满足a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
求证：四边形ABCD是菱形

a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
得(a^4-2a^2×b^2+b^4)+2a^2×b^2+(c^4-2c^2×d^2+d^4)+2c^2×d^2-4abcd =(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(a^2×b^2-2abcd+c^2×d^2)=(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
a,b,c,d为四边,所以都为正数
所以a=b,c=d,ab=cd
所以a=b=c=d,所以四边形为菱形

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