家居智能怎么控制空调:水杯装水问题（微积分）

来源：百度文库编辑：杭州交通信息网时间：2024/05/12 18:52:48

似乎是一道微积分的题目，也是自己发现，困扰多年的，虽然算出答案，但是没有证实：
一个圆柱形水杯（设底半径r，高h）装满了水，假设体积是V，逐渐倾斜倒掉里面的水，当水平面截到杯壁与杯底的交点时候，很明显，这时剩下水的体积为1/2 V，问题来了：当水平面截到杯底一半，即通过杯底圆心的时候，此时剩下的水还剩多少？（我解的思路是积分每个截面积）敬请高手解答~
谢谢1楼的chp0918兄弟，
有一点，每个截面并不都是半圆哦，到上面是弓形的，
所以截面积表达式要更复杂的，
而且我的微分单元不是在顶点跟底面圆心的连线，
而是在高上，这样会更简便。
希望你能帮忙继续完善一下，并求得最终解，
我会增加一倍的酬劳，谢谢：）

杯底圆心的时候的线段的长度是[(2/r)平方+h平方]的平方开根号设它为x
那么积分范围从 0 到 [(2/r)平方+h]的平方开根号
截面为一半圆可以把体积截成很多段
每一段面积是1/2派*{x[（2/r)/[(2/r)平方+h平方]的平方开根号}的平方
每一段体积是面积乘以dx
即{1/2派*{x[（2/r)/[(2/r)平方+h平方]的平方开根号}的平方}dx
表达式是 {1/2派*{x[（2/r)/[(2/r)平方+h平方]的平方开根号}的平方}dx
就这样算
由于我没带纸所以没法求解
其实微积分就是把整个给切割掉，进行运算，再加回去
（回答一样，好像只有这一个回答）

提醒一句：当水平面截到杯壁与杯底的交点时候，剩下的水不是1/2V

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