贵阳白云经济开发区:求做二次函数的题的方法

本文以2001年的中考题为例谈谈二次函数应用题的常见类型和解法。供参考。

二次函数应用题从题设给定形式和解法上看，常见的有以下三类：

一、待定系数法型

题设明确给出两个变量间是二次函数关系，和几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。解答的着急是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。

例1 （2001年安徽省中考题）

某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：

x（十万元）
0
1
2
…

y
1
1.5
1.8
…

（1）求y与x的函数关系式；

（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；

（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

分析 （1）因为题中给出了y是x的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y与x的函数关系式为
（2）由题意得S=10y(3-2)-x

（3）由（2） 及二次函数性质知，当1≤x≤2.5，即广告费在10—25万元之间时，S随广告费的增大而增大。

例2 如图1，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线蝗舅物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。

已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。

（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；

（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

[抛物线 的顶点坐标为 ] （2001年吉林省中考题）

分析 （1）由球运行的路线是抛物线可推断y是x的二次函数。又由题意如此抛物线顶点为（0，3.5）且过点（1.5，3.05）。于是用待定系数法可求得其解析式为 。

（2）当x=-2.5时，y=2.25，2.25-1.8-0.25=0.20（米）。即球出手时他离地0.20米。

二、分析数量关系型

题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。

例3 （2001年河北省中考题）

某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。

（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；

（2）将（1）中所求出的二次函数配方成 的形式，写出顶点坐标；在图2所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获得最多，是多少？

（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？

分析 （1）若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2(70-x)]千克，每千克获利为(x-30)元。根据题意得 （30≤x≤70）。

（2） 。顶点坐标为（65，1950），草图略，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。

（3）列式计算得，当日均获利最多时，可获总利195000元；当销售单价最高时，可获总利221500元。故当销售单价最高时获总利较多，且多获利221500-195000=26500元。

三、建模型

即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。这类问题建模要求高，有一定难度。

例4 （2001年金华市、衢州市中考题）用长8m的铝合金条制成如图3形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（ ）

（A） （B）
（C） （D）
分析 设窗框的宽为xm，则其高为 ，窗户的透光面积 。故窗户的最大透光面积为 ，应选C。

例5 （2001年荆门市中考题）如图4，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点处到边MN的距离是4dm，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm？

分析 由“抛物线”联想到二次函数。如图4，以MN所在的直线为x轴，点M为原点建立直角坐标系。设抛物线的顶点为P，则M（0，0），N（4，0），P（2，4）。用待定系数法求得抛物线的解析式为 。

设A点坐标为（x，y），则AD=BC=2x-4，AB=CD=y。于是 。且x的取值范围是0<x<4 （x≠2）。

若l=8，则 ，即 。解得 。

而0<x<4（x≠2）。故l的值不可能取8，即截下的矩形周长不可能等于8dm。

注：本题还可在其它位置建立直角坐标系。