宇宙膨胀 光速:哪位人士有关于函数的练习题

我这里的一个例子是洗衣机洗去污垢，我们知道洗衣过程前有的是衣物和污垢的混合物和清水，洗完后将混有污垢的水去除，留下的是衣物和留在衣物中的污水。假设每次洗衣过程中污垢能在水中充分溶解，而每次甩干过程中都不能完全去除污水，注意，这个假设已经忽略了很多特殊情况。以下是我的题设：
设有衣物A千克，污垢B0千克（不用不同单位了，减少换算），第i次加入Xi千克水，每次甩干后都会残留相当于衣物重量w（百分比，也略去换算）的污水。再设定污垢重量小于衣物重量的v（百分比）即为洗衣完毕。
1.数列关系式：设每次过程之后残留污垢为Bi千克，Bi=(A*w)*B(i-1)/[B(i-1)+Xi]，当Bn≤(A*v)*B(n-1)/[B(n-1)+Xn]时，有限数列Bn结束。
2.进一步简化成函数：因污垢相比于衣物，质量很小，相比于水就更微乎其微，故可以在分母上忽略，得到简化过的数列通项Bn=(A*w)*B(n-1)/Xn，则可得到污垢的函数关系f(i)=∏(A*w/Xi)。注意现在的函数还是离散的。
3.继续化简函数：虽然说f的定义域应为离散的，但为方便计算，将f定义域扩充成非负实数，此时需去除可变参数Xi为常数C，函数就成以下形式：f(x)=(A*w/C)^(x)，
4.对该函数讨论的范围和意义：范围是如w v之间的关系，意义是通过最值的寻找求得最佳的洗衣方案。这里应该自己发挥。
1. 能从客观实际问题中学会建立一次函数模型。
2. 通过一次函数模型的建立，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3. 利用图象解决问题，培养学生数形结合思想。

二. 教学重点、难点：
让学生学会建立一次函数模型解决实际问题。
在学习中，我们知道，解这类问题，关键要学会数学建模的思想方法，准确地将实际问题中的已知条件和所求的结论抽象为数学语言，再用数学思维和数学方法，分析和解决这些问题。

【典型例题】
例1. 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度为每秒增加2m/s，到坡底时，小球速度达到40m/s。
（1）求小球速度v(m/s)与时间t(s)之间的关系式；
（2）求t的取值范围；
（3）求3.5s时小球的速度；
（4）求几秒时，小球的速度为16m/s。
分析：（1）小球由静止开始在斜坡上向下滚动，当滚动时间为1s时，速度为v＝2×1（m/s）；当滚动时间为2s时，v＝2×2（m/s）…，依次类推，滚动时间为t s时，速度v＝2t（m/s），…
解：（1）函数关系式为 v＝2t
（2）∵0≤v≤40

（3）当t＝3.5s时
v＝3.5×2＝7m/s
（4）当v＝16m/s时，
16＝2t
∴t＝8（s）
即当滚动8s时，小球速度为16m/s。

例2. 如图表示的是松树的高度和它的年龄（树龄）之间的关系，根据图象解答下列问题：

（1）树龄分别在40年、90年时松树的高分别为____________。
（2）松树从20年长到60年增加高度为____________。
从60年长到100年增加的高度为____________。
（3）松树高为20米、27米、32米，它的树龄分别为____________。
（4）树龄是____________年时，树高是20年时的两倍？
（5）请你用一句恰当的语句描述松树的长势情况。
分析：本图实质上反映了树高h与它的年龄（t）的函数关系，用图象法表示函数形象、直观，但不精细，因此利用图象观察的数值都是近似数，但不能相差太悬殊。
解：（1）—（4）略
（5）前60年松树长势较快，（共长了20多米）。
从60年到100年之间松树长势较慢，（40年共长了近10米）。
从100年到140年松树长势最慢，（40年共长仅2米多）。

例3. 气温随着高度的升高而下降，下降的一般规律是从地面到高空11千米处，每升高1千米气温下降6℃；高于11千米时，几乎不再变化，设地面的气温为20℃时，高空中x千米处大气的气温为y℃，
（1）当0≤x≤1时，求y与x的函数关系式。
（2）做出气温随高度（包括高于11千米）而变化的图象。
（3）试求在离地面4.5千米及13千米的高空处，气温分别是多少？
分析：（1）y与x的函数关系式，反映了高度与气温的变化规律，每升高1千米气温下降6℃。
则升高x千米气温下降6x℃
而地面气温为20℃，可找到y与x的函数关系式，……
解：（1）y＝20－6x （0≤x≤11）
（2）

∴高于11千米时几乎不再变化。

（3）当x＝4.5千米时

当x＝13千米时
y＝－46℃
∴高于11千米时，气温几乎不再变化。

例4. 遥控赛车在“争先”杯赛中，电脑记录了速度的变化过程，如图，能否用函数解析式表示这段记录。

分析：电脑记录提供了赛车时间t秒与赛车速度v（米/秒）之间的关系
因此，对不同时间段内分别求出速度v与时间t的函数关系。
解：当t在0～1秒内，
图象过原点和（1，7.5）
∴速度v与t有正比例函数关系式：v＝7.5t （0≤t≤1）
当t在1～8秒内，
图象是平行于x轴，即速度v保持不变，v＝7.5 （1≤t≤8）
当t在8～10秒内，
图象上看出直线过两点（8，7.5），（10，0）
设v＝kt＋b （k≠0）

例5. 现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元。
（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式。
（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数。
那么共有哪几种安排车厢的方案？
（3）在上述方案中，哪个方案运费最省？最省运费为多少元？
分析：（1）较简单，根据A、B两种车厢的费用，可求出总费用。注意单位y（万元）……
（2）先理解题意，…再分别列出两个方程求出x的取值，就可确定有几种方案安排车厢。
（3）利用一次函数的性质可得。
解：

（2）∵甲种货物共有1240吨

解得x＝24
乙种货物共有880吨

解得x＝26
∴共有3种装车方案：
①24节A型车厢和16节B型车厢。
②25节A型车厢和15节B型车厢。
③26节A型车厢和14节B型车厢。

∴y随x的增大而减小
∴当x＝26时

答：略。

一、填空题：
1. 观察下列各正方形图案，每条边上有n（n≥2）个圆点，每个图案中圆点的总数是s，按此规律推断出s与n的关系式为_____________。

2. 汽车离开A站5千米后，以30千米/时的平均速度行驶了t小时，则汽车离开A站所走的路程S（千米）与时间t（小时）之间的函数关系式为____________。
3. 弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，如图1，可知不挂物体时弹簧的长度为______________。

图1
4. 为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准，每户每月的用水不超过10吨时水价为每吨1.2元，超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，该市某居民5月份用水x吨（x>10），应交水费y元，则y关于x的关系式为____________。

二、选择题：
1. 如图2，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，大致图象是（ ）

图2

2. 星期天晚饭后，小红从家里走出散步，如图3描述了她散步过程中离家的距离S（千米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系，下面描述正确的是（ ）

图3
A. 从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报就回家
B. 从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后继续向前走了一段，然后回家了
C. 从家出发，一直不停地散步，然后回家
D. 从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返回
3. 如图4，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中S与t分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）

图4
A. 2.5米 B. 2米
C. 1.5米 D. 1米

三、解答题：
1. 某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租车其中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给出租车的月费用是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系图象（两条射线），如图5，观察图象回答下列问题：

图5
（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国营的车合算？
（2）每月行驶的路程为多少时，租两家车的费用相同？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家的车合算？
2. 某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程，开始时风速平均每小时增加2千米/时，4小时后沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米/小时，一段时间，风速保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减少1千米/时，最终停止，结合风速与时间的图象（图6），回答下列问题：

图6
（1）在y轴（ ）内填入相应的数值。
（2）沙尘暴从发生到结束共经过多少小时？
（3）求出当x≥25时，风速y（km/h）与时间t（h）之间的函数关系式。
3. 某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油，在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2，加油时间为t分钟，Q1、Q2之间的函数图象如图7，结合图象回答下列问题：

图7
（1）加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？
将这些油全部加给运输机需多少分钟？
（2）求加油过程中，运输飞机的油Q1（吨）与时间t（分钟）的函数关系式。
（3）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用？为什么？
4. 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为1万元，其原料成本价（含设备损耗费）为0.55万元，同时在生产过程中，平均每生产一件产品有1吨的废渣产生，为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理，现有两种方案：
方案一：由工厂对废渣进行处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元。
方案二：交给环保部门处理，每月付给费用0.1万元包干。
问：（1）设工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，分别求出方案一和方案二处理废渣时，y与x之间的函数关系式（利润＝总收入－总支出）
（2）若你作为厂长，如何根据每月生产量选择处理方案，既可达到环保要求，又最合算。

【试题答案】
一、填空题：
1.
2.
3. 10cm
4.
二、选择题：
1. B 2. B 3. C
三、解答题：
1. （1）每月行驶的路程少于1500km时，租国营公司的车合算。
（2）每月行驶1500km时，租两家车的费用相同。
如果估计每月行驶2300km，那么租个体车合算。
2. （1）8，32；（2）57
（3）
3. （1）加油飞机的加油油箱中装了30吨油。
全部加给运输飞机需10分钟
（2）
（3）油料够用
4. （1）方案一：
方案二：
（2） 时，方案一所获利润较大
时，两种方案所获利润一样大
时，方案二所获润利较大