来生瞳被车震的是谁:请大家教教我有一点难度的提取公因式（全一点）

对于多项式a(m+n)+b(m+n)，如果设c=m+n，那么这个式子就变为ac+bc，我们就可以提取公式法因式分解了．

例1 2a(b+c)-3(b+c)分解因式．

分析：这个多项式中的b+c是二项式，如果设b+c=m，则原式可变为

2a(b+c)-3(b+c)=2am-3m．

这样，就把问题归结为公因式是单项式的因式，可以用提取公因式法进行因式分解了．

解 设b+c=m，则

2a(b+c)-3(b+c)=2a·m-3·m=m(2a-3)=(b+c)(2a-3)

指出：在把形如例1的多项式因式分解时，只需把(b+c)看作一个整体，作为公因式提出即可，可以不写出辅助元．

(口答)说出下列各多项式中各项的公因式：

(1)2m(a-b)-3n(a-b)；

(2)(3m-2)x+3(3m-2)y；

(3)(y+5)(y-2)-(y+5)；

(4)4n(a+b)(a-b)-5(a+b)2；

答：(1)a-b；(2)3m-2；(3)y+5；(4)a+b．

问：多项式m(a-b)-5(b-a)是否有公因式？

答：如果把多项式的第二项中的(b-a)变为-(a-b)，则多项式就有公因式(a-b)了．

例2 把6(x-2)+x(2-x)分解因式．

分析：(x-2)与(2-x)只差一个符号，如果把2-x变号，即2-x=-(x-2)，原多项式就有公因式(x-2)了．

解 6(x-2)+x(2-x)=6·(x-2)-x·(x-2)=(x-2)(6-x)．

问：下列各题中的每两个多项式之间有什么关系？

(1)a+b与-a-b； (2)(a-b)2与(b-a)2；

(3)(a-b)3与(b-a)3； (4)(a-b)n与(b-a)n．

答：

(1)因为-a-b=-(a+b)，所以a+b与-a-b互为相反数；

(2)因为(b-a)2=[-(a-b)]2=(a-b)2，所以(a-b)2=(b-a)2；

(3)因为(b-a)3=[-(a-b)]3，所以(b-a)3=-(a-b)3；

(4)当n为偶数时，两式相等；当n为奇数时，两式互为相反数．

例3 把18b(a-b)2-12(a-b)3分解因式．

分析：如果把a-b设为m，则原式变形为18bm2-12m3．

问：这个多项式的公因式是什么？

答：公因式是6m2．

问：原多项式的公因式是什么？

答：是6(a-b)2．

解 18b(a-b)2-12(a-b)3 =6(a-b)2·3b-6(a-b)2·2(a-b)

=6(a-b)2[3b-2(a-b)]

=6(a-b)2(3b-2a+2b)

=6(a-b)2(5b-2a)．

(口答)指出下列各多项式中各项的公因式：

(1)3m(x-y)-9m2(y-x)2；

(2)10(x-y)2+6(y-x)3；

(3)5m(x-y)2-10m2(y-x)2；

(4)12a3(m-n)3+10a2(n-m)3．

答：

(1)3m(x-y)；(2)2(x-y)2；(3)5m(x-y)2；(4)2a3(m-n)3．

例4 把5(x-y)3+10(y-x)2分解因式．

问：这个多项式两项的系数5与10的公因数是什么？有没有公因式？

答：5与10的公因数是5；因为(y-x)2=[-(x-y)]2=(x-y)2，所以(x-y)3与(y-x)2的公因式是(x-y)2．

解 5(x-y)3+10(y-x)2=5(x-y)3+10(x-y)2=5(x-y)2(x-y+2)．

三、课堂练习

1．把2(x-3)-(x2-3x)分解因式．

2．把(x-y)(x+2y)2-(y-x)2(x+2y)分解因式．

答案：

1． 2(x-3)-(x2-3x)

=2(x-3)-x(x-3)

=(x-3)(2-x)．

2． (x-y)(x+2y)2-(y-x)2(x+2y)

=(x-y)(x+2y)2-(x-y)2(x+2y)

=(x-y)(x+2y)[x+2y-(x-y)]

=(x-y)(x+2y)[x+2y-x+y]

=(x-y)(x+2y)·3y

=3y(x-y)(x+2y)．

四、小结

1．在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．

2．在提取多项式各项的公因式时，对数字系数和因式要分别进行考虑．如果是整数系数，提取它们的最大公约数；如果是分数系数，提取它们分母的最小公倍数；相同的因式应提取次数最低的．