弗兰,意思是什么:旋量是什么

【旋量】：又叫狄拉克旋量，最早由狄拉克提出狄拉克方程引入。
　　很多物理量不仅与位置相关，还与坐标方向的选取相关。比如标记方向的量--矢量，它的数值大小就跟坐标方向的选择有关。物理量在坐标旋转变换下的变换性质可以明确地表明它与坐标方向的依赖关系。
　　在坐标变换下不变的量被称为标量，在坐标变换下按照标记固定方向变化的量被称为矢量。由多个矢量可以耦合出含有更多分量，在坐标变换下级次更高的量，被统称为张量。以上这些量虽然在坐标方向选择不一样时，其具体数值可能不同，但是他们表示的总是某种固定的物理量。他们数值上的变化只是由于不得不选择坐标而带来的，只是对坐标选择的依赖而已，而不是物理量本身的变化。
　　标量，矢量和张量具有本身不变，分量的具体数值可能随坐标转动而变化这样的性质。但是他们并没有包含所有具有这种性质的量。具有这种性质的最基本的物理量是旋量。旋量具有四个分量，在坐标转动下，由某些特定的矩阵决定自己各分量数值应有的变化。我们的物理时空具有洛仑兹变换下不变的性质。根据洛仑兹变换群的性质，旋量才是4维时空中能够构造出来的最基本的方向依赖的量。物理量与坐标方向的依赖级次可以由对应的角动量来表示，旋量为1/2，矢量1。两个旋量可以耦合出矢量，更多的旋量可以耦合出对应角动量3/2的量，对应整数角动量的张量等。

因为我们有复数，有四元数，我们希望推广到更加高的维数，但一般的代数，到了8元数就终结了，要找新的代数，只能去发现clifford代数了。因为它作用在旋量之上，所以在下面的章节可以漫漫谈来。

旋量由此产生，最早起源于嘉当。旋量与群论关系密切，但也可以说与clifford代数关系密切。比如物理学家比如咯兴林的《高等量子力学》把dirac矩阵乘起来的16个矩阵叫做dirac群，其实这就是一个clifford代数。

旋量具体来说就是N维度规空间上的正交群的表示。大家最熟悉的莫过于三维欧氏空间的转动群SO(3)的表示了，其最低维的双值表示便是二维的旋量表示，这个是转动群的通用覆盖群的SU(2)单值表示。把这个结果推广到一般维数的空间。其结果是：最低维旋量的表示维数是：2^{n/2-1} 当n是偶数的时候；
2^{n/2-1/2} 当n是奇数的时候。
当维数为六时，SO(2,4) 的表示便是扭量。这是从抽象的代数语言来说扭量，扭量如何在时空点和光线空间实现对应呢？？
对于的关键在于，我们把四矢量（t，x，y，z）用pauli 矩阵写出来，或者说，用四元数写出来。写出来后是一个矩阵。这个矩阵，记做N。
那么，一个扭量（z1，z2，z3，z4）满足如下扭量方程。
z1 N N Z3
z2 = N N Z4

这个方程非常专业，跟爱因斯坦方程一样是一副名画。但不专业的读者们可以暂时忘却它，不能忘却的是，扭量理论中最重要的是光线，光线最重要。
对于多数人来说，光线意味着光明。对相对论来说，光明意味着光线，也意味着扭量。

迹规划是机器人控制问题的重要方面，根据作业要求通地轨迹序列控制点控制机器人位姿轨迹。Paul〔1〕首先利用齐次变换矩阵将手部在直角坐标下的位置、速度和加速度变换成各关节的位移、速度和加速度，然后规划成二次平滑函数。Paul方法的计算量非常大，Taylor〔2〕采用四元数表示法改进了Paul方法。后来Lin和Luh〔3，4〕提出规划轨迹的3次样条函数方法，可得到优化的关节运动规律，但当轨迹中间路径点个数n较多时，此法所需计算量也较大，而且缺乏时姿态插补的考虑。在许多高精度应用场合，如切割、弧焊等不仅要求机器人位置精确，还需要在该位置具有任意确定的姿态，对外部品质的要求是很高的。因此，必须解决机器人姿态在插补结点处相应的空间坐标，以寻求更具一般意义的位姿轨迹生成的通用算法。
本文运用旋量法来描述机器人末端夹持器在直角坐标空间中的位置和姿态对时间函数所显示的运动轨迹，由于姿态旋量的直观和简便对描述瞬时姿态有独特的优点，且计算量也小。文中还利用速度矢量是雅可比矩阵列向量的线性组合关系，对广义坐标的速度量进行线性规划，免去了求解运动学方程，并适合于具有冗余自由度的操作器。

1 机器人位姿轨迹
1.1 姿态旋量
机器人的位姿就是终端夹持器的位置和姿态。我们可以用角位移矢量Ω来描述机器人的姿态，设ψ为基坐标系中绕瞬时轴加转的等效旋转角，K表示基系中瞬时转轴的单位向量，则角位移矢量：
Ω＝ψK。
根据旋量定义，可以证明等效角位移矢量的姿态矢量是旋量，表示为

式中，OP为用位移矢量上给定的初始点位置，基系原点O为旋量参考点。

由对偶数理论可知：三维欧氏空间中直线与三维对偶空间中的点是一一对应，于此可将直角坐标空间中的姿态旋量映射到对偶空间，得到对应点，位姿轨迹的规划问题便转化为对偶空间中由姿态旋量所映射的点运动轨迹的选择问题。

图1 姿态旋量

1.2 位姿轨迹
设T为机器人由起始点到结束点完成运动所需的总时间，t为分段轨迹算起的时间，令

若在时间间隔〔0，t〕内，机器人完成一个给定的工作，整个工作轨迹上需计算的采样点数：
N0＝Int(t／T)。
姿态旋量时应的对偶空间中的点假设沿着一连续轨迹运动

是λ(t)的对偶函数，写成对偶坐标形式。
(1)
式中Ωxi,Ωyi,Ωzi为姿态坐标分量，的Plücker坐标(Ωi，Soi，用坐标分量的纯量形式表示为(Ωxi,Ωyi,Ωzi,S0xi,S0yi,S0zi)
姿态矢量Ωi为瞬时转动轴上的自由矢量，只有当Pi点位置确定后，它才在轴线上唯一定位。Ωi在空间的定位可通过瞬时转动轴线上Pi的位置矢量rip给定，于此S0i＝rip×Ωi〔5〕，将式(1)改写成行列式形式的参数方程为
(2)
式中，xpi,ypi,zpi为夹持器姿态矢量Ωi在轴线上Pi点相对于基系的坐标，式(2)就是机器人位姿的姿态旋量表示。由Ωxi，Ωyi,Ωzi确定机器人夹持器的姿态轨迹，由xpi,ypi,zpi导出其位置轨迹，设定理想位置及姿态轨迹为
(3)
(4)
代入式(2)便可确定机器人在对偶空间的姿态旋量。机器人在进行焊接或切割工作，圆弧曲线轨迹运动中姿态的变化，需要按式(2)求出每一采样时刻的姿态角。

2 机器人运动螺旋方程
设为终端速度旋量，为姿态角速度向量，vpi为终端位置速度，基旋量，
(5)
(6)
于端夹持器的瞬时运动螺旋方程为
(7)
螺旋轴线Plücker坐标为

3 关节运动速度
设固联于机器人各可动件上的附件参考系原点O′i放在运动副关节处，相邻运动副轴线之间的合法线长度为a12，a23，……；相邻两杆之间的偏距分别为d1，d2，…；相邻轴线之间的扭向角为v12，v23，…；运动副相对回转角为θ1，θ2，…。
定义函数

令
取第i关节的转角θi，或滑移距离zi作为广义坐标，qi＝(1－μi)zi＋μiθi(i＝1，2，…，n)
将螺旋运动旋量方程(7)作转换后可得
(8)
或表示为
(9)
式中，J1，J2，J3是雅可比矩阵J的三个3×3子阵，这里注意到六关节机器人决定姿态的关节4、5、6的变量没有影响vx,vy,vz的移动，可将式(9)分解写成
(10)
(11)
由上式可知终端执行器移动线速度和转动角速度与各关节角速度的关系由雅可比矩阵联系，它由机器人各杆件的位姿矩阵和旋转矩阵组合给出。
根据工作过程的需要，规划终端执行器的位姿轨迹及速度必需与末端的实际测定的数值一致。然而，机器人各杆件的弹性变动，关节间隙，重力负载及杆件离心效应等因素的影响致使机器人位姿动态精度形成误差。设为期望轨迹上的速度旋量，为机器人末端测定的实际速度旋量，由传感器可获得实际位姿轨迹与期望作业偏差为

机器人的位置和姿态误差分别小于给定误差R及G的概率〔6〕。为使误差收敛反回轨迹，以消除误差的累积效果，需使位置及姿态误差得到校正补偿，式(10)，(11)改写为
(12)
(13)
式(12)、(13)适用于J满秩的情况，当机器人具有冗余自由度时，对应的有无穷多解，对此可取能量损失为最小，选取最优解
(14)
为寻求满足式(14)使损失函数N()，为最小，应用拉格朗日算子解
(15)
W为n×n对称正定矩阵，λ为Lagrange乘子，满足最优解的必要条件是

即
(16)
(17)
在式(16)，(17)中消去λ，得最优解。
(18)
考虑到使误差得到收敛，式(18)改写成
(19)
其中均为正定阵。式(19)适用于有冗余自由度时的规划。要求关节运动速度不应达到边界位置极限速度，设M为允许的最大速度，必需使＜M，以适应电机最大转速的要求。

4 算 例
设斯坦福机械手在拟定轨迹中通过空间3个已知点P1(50，0，118)，P2(110.5，50，84)，P3(50.2，100，50)，并在三点保持姿态为Ω1(0，0，1.57)T，Ω2（0，－0.045，0)T，Ω3(0，0，1.57)T。P1，Ω1状态相对应的关节坐标及其相应的正弦和余弦值如表1，试规划其运动和位姿轨迹。
表1

关节坐标

坐 标 数 值 正 弦 余 弦
θ1 0° 0 1

θ2 90° 1 0

θ3 ／ ／
θ4 0° 0 1
θ5 90° 1 0
θ6 90° 1 0

解 设机械手终端以圆弧轨迹规划，其位置坐标函数及姿态坐标函数为
xp＝f1〔λ(t)〕＝60.5sin(2.9966°t)＋50，
yp＝f2〔λ(t)〕＝－50.03cos(2.9966°t)＋50，
zp＝f3〔λ(t)〕＝34cos(2.9966°t)＋84，
Ωx＝ζ1〔λ(t)〕＝－0.05cos2(2.9966°t)＋0.05sin(2.9966°t)＋0.05，
Ωy＝ζ2〔λ(t)〕＝－0.065sin(2.9966°t)＋0.02cos2(2.9966°t)＋0.02，
Ωz＝ζ3〔λ(t)〕＝0.0012cos2(2.9966°t)－1.57sin(2.9966°t)＋1.569。
设运动总时间为T＝60s，据式(2)当t＝40s时终端夹持器的位置，姿态为

据式(5)、(6)可求得t＝40s终端的位姿速度值，

斯坦福机械手雅可比矩阵的三个子阵为

其中，
J11＝－d2〔C2(C4C5C6－S4S6)－S2S5C6〕＋S2d3(S4C5C6＋C4S6)，
J21＝－d2〔－C2(C4C5C6＋S4S6)＋S2S5S6〕＋S2d3(－S4C5S6＋C4C6)，
J31＝－d2(C2C4S5＋S2C5)＋S2d3(S4S5)，
J12＝d3(C4C5C6－S4S6)，J13＝－S5C6，
J22＝－d3(C4C5S6＋S4C6)，J23＝S5S6,
J32＝d3C4S5，J33＝C5。
d2＝－t6041S1＋t6042C1，
d3＝S2(t6041C1＋t6042S1)＋t6043C2，
Ci＝cosθi，Si＝sinθi，(i＝1，2，…，6)，
t6041＝102.5，t6042＝25.09，t6043＝67.07，
可得d2＝25.09，d3＝102.5。
据测定手部位姿误差统计值为Δx＝0.08465，Δy＝0.1269，Δz＝0.1050，Δφx＝0.0022，Δφy＝0.0025，Δφz＝0.0041。取

据式(12)，(13)可得关节速度

5 结 论
1)本文用对偶映射原理来描述机器人的姿态旋量，用Plücker线坐标表达机器人位姿。
2)在机器人轨迹规划中，利用旋量方法时描述瞬时姿态具有直观、简便的独特优点，比较全面地表达了终端执行器的位置和姿态的轨迹生成，且计算量较少。
3)根据实际工作轨迹进行规划，提高了操作器运行精确性，并使非线性优化问题化为线性优化问题，利用速度矢量是雅可比矩阵列向量的线性组合关系，免去了求解逆运动学方程，并适合于具有冗余自由度的操作器。■

基金项目：福建省自然科学基金资助项目
作者单位：林瑞麟(华侨大学机电工程系，福建泉州362011)

参考文献：

〔1〕Paul R P. Manipulator cartesian path contor〔J〕. IEEE Transaction on Systems,Man, and Cybernetics,1979,9(11)：702～711.
〔2〕Taylor R H. Planning and execution of straight line trajectories〔J〕. IBM Journal of Research and Development,1979,23：424～436.
〔3〕Lin C S, Chang P R, Luh JYS. Formulation and optimization of cubic polynomial joint trajectories for industrial robots〔J〕. IEEE Jransaction on Automatic Control,1983,28(12)：1066～1073.
〔4〕Luh J Y S, Lin C S. Approximate join trajectories for control of industrial robots along cartesian paths〔J〕. IEEE Trans System, Man and Cybernetico，1984，14(3)：444～450.
〔5〕林瑞麟，蒋少茵，林碧. 旋量法在机器人动力学分析中的应用〔J〕.应用数学和力学，1996，17(1)：75～80.
〔6〕徐卫良，张启先. 机器人误差分析的蒙特卡洛方法〔J〕.机器人，1988，2(4)：1～5.

(汤任基推荐)
收稿日期：1998-02-05

修订日期：1999-10-30

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