步兵福利社:那里可以找到教案？

第四讲 组合
　　日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等.这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题.
　　例如 某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之间.那么，船票共有几种价格（往返票价相同）？
　　注意到由天津到青岛的票价与从青岛到天津的票价是一样的，所以问题实际上就是计算从三个城市中取两个城市，有多少种不同的取法，即这时只与考虑的两个城市有关而与两个城市的顺序无关.
　　由枚举法知，共有下面的三种票价：
　　天津←→青岛
　　青岛←→大连
　　大连←→天津
　　我们把研究对象（如天津、青岛、大连）看作元素，那么上面的问题就是从3个元素中取出2个，组成一组的问题，我们把每一组叫做一个组合，把所有的组合的个数叫做组合数，上面的问题就是要求组合数.
　　一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
　　由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合.
　　从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作Cmn.
　　如上面的例子，就是要计算从3个城市中取2个城市的组合数C23，由枚举法得出的结论知：C23＝3.
　　那么它是怎样计算出来的呢？
　　从第三讲开头的例子，即准备天津、青岛、大连三个城市之间的船票的问题发现，这个问题实际上可以这样分两步完成：第一步是从三个城市中选两个城市，是一个组合问题，由组合数公式，有取C23法.第二步是将取出的两个城市进行排列，由全排列公式，有P23种排法，所以，由乘法原理得到P23＝C23×P23.故有：
　　C23＝P23÷P22＝（3×2）÷2＝3.

　　一般地，求从n个不同元素中取出m个元素排成一列的排列数Pmn可以分两步求得：
　　第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有Cmn种方法；
　　第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有Pmm种排法.
　　故由乘法原理得到：
　　Pmn＝Cmn•Pmm
　　因此

　　这就是组合数公式.
　　例1 计算：①C26，C46；②C27，C57.

　　注意到上面的结果中，有C26=C46，C27=C57.
　　一般地，组合数有下面的重要性质：
　　Cmn＝Cn-mn （m≤n）
　　这个公式是很容易理解的，它的直观意义是：Cmn表示从n个元素中取出m个元素组成一组的所有分组方法.Cn-mn表示从n个元素中取出（n—m）个元素组成一组的所有分组方法.显然，从n个元素中选出m个元素的分组方法恰是从n个元素中选m个元素剩下的（n-m）个元素的分组方法.例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即C35=C25.

　　规定 Cnn＝1， C0n＝1.
　　例2 计算：①C198200；②C5556；③C98100-2C100100.

　　例3 从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：
　　①有多少个不同的乘积？
　　②有多少个不同的乘法算式？
　　分析 ①中，要考虑有多少个不同乘积.由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，所以，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题.
　　②中，要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题.
　　解：①由组合数公式，共有

　　个不同的乘积.
　　②由排列数公式，共有
　　P25＝ 5×4＝20
　　种不同的乘法算式.
　　例4 在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的①直线段，②三角形，③四边形？
　　分析 由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取2个点，就可以画出一条线段；在10个点中取3个点，就可以画出一个三角形；在10个点中取4个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题.
　　解：由组合数公式.

　　例5 如下图，问：
　　①下左图中，共有多少条线段？
　　②下右图中，共有多少个角？

　　分析 ①中，在线段AB上共有7个点（包括端点A、B）.注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题，而C27表示从7个点中取两个不同点的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有C27条线段.
　　②中，从O点出发的射线一共有11条，它们是OA， OP1，OP2，OP3，…，OP9，OB.注意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角.显然，是组合问题，共有C211种不同的取法，所以，可组成C211个角.
　　解：①由组合数公式知，共有

　　条不同的线段；
　　②由组合数公式知，共有

　　例6 某校举行排球单循环赛，有12个队参加.问：共需要进行多少场比赛？
　　分析 因为比赛是单循环制的，所以，12个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关.所以，这是一个在12个队中取2个队的组合问题.
　　解： 由组合数公式知，共需进行

　　场比赛.
　　例7 某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？
　　分析 要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有C343种不同的选法.
　　要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有P342种不同的站法.
　　解： 由组合数公式，共有

　　种不同的选法；
　　由排列数公式，共有
　　P342＝42×41×40＝68880
　　种不同的站法.