华文字体官方网站:数学问题

你很有探索精神哦。这样吧，我给一个思路你，你自己去拓广吧。
为方便记：n选m组合数为c(n,m)，并且n<m时令c(n,m)=0。
有一个常用的结论是：
c(n+1,m+1)=c(m,m)+c(m+1,m)+...+c(n,m)........(1)
或者：
c(n+1,m+1)=c(1,m)+c(2,m)+...+c(m,m)+c(m+1,m)+...+c(n,m)........(2)
其中m>0。

给定一个指数k，一定有整数序列ak,...a1,a0
使得：
n^k = ak*c(n,k) + ... + a1*c(n,1) + a0*c(n,0)...................(3)

这样k>0时
s(k)(n)=1^k + 2^k + ... + n^k
= ak*c(1,k) + ... + a1*c(1,1) + a0*c(1,0)
+ ak*c(2,k) + ... + a1*c(2,1) + a0*c(2,0)
+ ......
+ ak*c(n,k) + ... + a1*c(n,1) + a0*c(n,0)
= ak*{c(1,k) + c(2,k) + ... + c(n,k)}
+ ......
+ a1*{c(1,1) + c(2,1) + ... + c(n,1)}
+ a0*{c(1,0) + c(2,0) + ... + c(n,0)}
= ak*c(n+1,k+1) + ... + a1*c(n+1,2) + a0*c(n+1,1) ......................(4)

也就是说，求s(k)(n)的关键是要求整数序列ak,...a1,a0， 确定了整数序列也就求出了s(k)(n)。其实这个整数序列也是有一些规律的，你有兴趣的话自己琢磨一下。

下面我给你举几个简单的例子说明如何应用吧。
k=1:
n^1 = c(n,1) 即 a1=1, a0=0
因此由(4):
s(1)(n)=a1*c(n+1,2) + a0*c(n+1,1) = n*(n+1)/2

k=2:
n^2 = n*(n-1)+n=2*c(n,2)+c(n,1)
因此
s(2)(n)=2*c(n+1,3)+c(n+1,2)=2*{(n+1)n(n-1)/6}+(n+1)n/2 = n*(n+1)*(2n+1)/6

k=3:
n^3 = n*(n-1)(n-2) + 3*n(n-1) + n = 6*c(n,3) + 6*c(n,2) + c(n,1)
因此
s(2)(n)=6*c(n+1,4) + 6*c(n+1,3) + c(n+1,2)
=6*{(n+1)n(n-1)(n-2)/24} + 6*{(n+1)n(n-1)/6} + (n+1)n/2
=(n+1)n(n^2-3n+2+4(n-1)+2)/4
=n(n+1)n(n+1)/4

k=5:
n^5 = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) + 10*n(n-1)(n-2)(n-3) + 25*n(n-1)(n-2) + 15*n(n-1) + n
= 120*c(n,5) + 240*c(n,4) + 150*c(n,3) + 30*c(n,2) + c(n,1)
因此
s(5)(n) = 120*c(n+1,6) + 240*c(n+1,5) + 150*c(n+1,4) + 30*c(n+1,3) + c(n+1,2)=...自己算

你的结论当然是对的，因为根本错不了：）。系数1/(k+1)是来源于第一项n(n-1)...(n-k+1)对应的k!*c(n+1,k+1)=(n+1)n(n-1)...(n-k+1)/(k+1)，而其余项次数都低于k+1了。因子n(n+1)存在则是因为a0总是等于0的，因此次数最低的项也是a1*c(n+1,2),所有项有因子n(n+1)。x的性质直觉不明显有什么，要深究下去吧。先把整数序列的规律找出来，再去探索x有什么性质会合理些。

不对吧？
请问k=3时何解？
请按已知带入并检验！！
可知猜想错误！！

请问k=3时何解？

好难.你应该也到数学的专业网站上问问.有可能能快点找到答案.

递归做，假设S[k-1](n)已知，对指数k,考虑k+1次方
n^(k+1)-(n-1)^(k+1)=一个多项式=Xn
(n-1)^(k+1)-(n-2)^(k+1)=X(n-1)
.
.
.
1^(k+1)-0^(k+1)=X1
n个式子通加
n^(k+1)=Xn+.....+X1
X的多项式最高次为k次方（k+1次方约掉了）,最高次系数为（k+1）,其余系数可由二项式展开定理来做，分别是n的k次方，k-1次方....1次方，常数项
左边是已知的，右边是（k+1)(n^k+(n-1)^k+...+1^k)+
A(n^(k-1)+(n-1)^(k-1)+...+1^(k-1)）+...

A(n^(k-1)+(n-1)^(k-1)+...+1^(k-1)）+...利用n的k-1,k-2,.....1,0次和的公式你已经知道了可求得

（k+1)(n^k+(n-1)^k+...+1^k)=n^(k+1)-A(n^(k-1)+(n-1)^(k-1)+...+1^(k-1)）+...
S[k](n)=(1/（k+1))*(A(n^(k-1)+(n-1)^(k-1)+...+1^(k-1)）+...)