杭州交通信息网打字比赛手绘宣传画:一道数学题（比较难）
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/04/29 09:27:51
已知a、b是实数，求证a^2+b^2+ab+1>a+b
1楼和4楼的答案都不错，真是费思量啊，不知怎么抉择了
1楼和4楼的答案都不错，真是费思量啊，不知怎么抉择了
一步搞定： — —
不等号两边乘2，右边的全移动到左边，左边即可整理成：
（a+b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2>0
成立，，
得证
设a+b=X,ab=Y
所求变为：Y<X^2-X+1
因为:Y<X^2/4
X^2/4-(X^2-X+1)恒小于零
所以Y<X^2-X+1 得证
楼上的人果然强~自叹不如
竟然想到这种方法，换元法阿。
厉害厉害/
我看不懂这里的符号！
不等式左边
a^2+b^2+ab+1=(a+b)^2-ab+1
根据均值不等式可得ab≤[(a+b)^2]/4。∴-ab≥-[(a+b)^2]/4
∴左边=(3/4)*[（a+b)^2]+1
提取(a+b)得(a+b)*[(3/4)*(a+b)+1/(a+b)]
中括号里的式子[(3/4)*(a+b)+1/(a+b)]≥√3>1
∴原不等式成立
（符号真难打，呵呵）
一楼和四楼都好厉害！！
我想到一种方法判别式法，不知对不对，呵呵！！
原式可变为a^2+b^2+ab+1-a-b>0
左边可看作关于的a函数f(a)=a^2+a(b-1)+b^2-b+1
因为函数的判别式（b-1）^2-4(b^2-b+1)
=-3(b-1/3)^2-8/3<0
因为函数f(a)判别式恒小于零，故函数f(a)与X轴没有交点，图像开口又向上，所以函数值恒大于零,即f(a)>0
即a^2+b^2+ab+1-a-b>0