螺栓m:关于混沌的问题

对于混沌产生的机制, 或通向混沌的道路问题, 我们不能作全面, 深入的介绍, 我们只想通过一个简单的例子揭示一种典型的通向混沌的道路, 从而使我们对混沌现象有较正确的认识.这个例子是生物学家梅(May)在1976年给出的, 是反映生态学中昆虫繁殖情况的, 昆虫繁殖可作为一个动力系统.
动力系统是一个广泛的概念, 它由状态 (并给出描述状态的量) 和动态特性 (状态演化规则)组成.设某种昆虫第n代的虫口数为,nx 第1+n代的虫口数为1+nx, 则这种昆虫的演化规律可表示为)1(1nnnxxx-=+λ ,3,2,1=n其中λ为参数, 1+n代的昆虫数正比于第n代的昆虫数, 同时要减去因食物有限及接触传染导致的昆虫死亡数. 方程中因存在2nxλ项, 成为非线性迭代方程. 这种迭代关系也称为逻辑斯谛映射(logistic map). 为了简化, 设nx的取值范围为[0,1], λ的取值范围为[0,4].
一,周期倍化分叉过程
从任何初始值出发迭代时, 一般有个暂态过程, 但当迭代次数很大, 即当∞→n时, 演化会导致一个确定的终态. 我们关心的是终态, 终态情况与参数λ的取值有很大关系. 数值计算结果如下.
λ的值 终 态
4.2=λ
1271==+nnxx
(一个不动点) 周期为1.
2.3=λ
nnxx=+2
0513.05799.0 周期为2.
5.3=λ
nnxx=+1
|←←-
-→→
9500.00875.0
9862.08382.0
| 周期为4.
┇
周期为 ,16,8等的周期倍化分叉
过程.
4~569.3=λ
基本上为混沌区(即周期为∞),其中还有周期窗口, 并具有一定结构.
设,ξ=∞→nnx 则终态集ξ和λ的关系可用图4.表示(示意图, 未按比例画).我们可以看到混沌产生和发展的过程. 当13>>λ时, 迭代的终态是一个确定值(或称不动
点), 不管初值取何值, 终态是同一值, 此值只与λ有关, 与λ值一一对应, 例如4.2=λ时,127=ξ. 到达终态后, 每经过一次迭代都回到迭代前的值, 故称其周期为1.
当3449.3>>λ时, 看到曲线从3=λ处开始分叉为2支, 即与一个λ值对应将有2个ξ值, 终态是2个值轮流取值, 经2次迭代后回到原先的值,故周期为2.
当449.3544.3>>λ时, 曲线进一步倍分叉,终态是4个值轮流取值, 周期变为4. 当λ继续增大时, 曲线将继续倍分叉, 出现周期为 ,32,16,8等, 这个过程称为周期倍化分叉过程.
当569.3=λ时, 周期变为∞, 即终态可取无穷多的各种不同值, 终态对初值极为敏感, 使之成为不可预测, 即开始出现混沌现象. 在此之前(即569.3<λ时), 终态都是周期的, 可预测的,并与初值无关. 在4569.3≤≤λ区间, 基本上是混沌区, 但不是铁板一块, 其中还有周期窗口等结构.
为了对混沌现象有一个感性认识, 我们把4=λ时所做的数值计算结果列在表中. 3个初值的差别是非常小的, 仅在小数点后第七八位上有差别, 经过10次迭代后所得结果差别不大, 经50次迭代后所得结果差别就很大了, 对初值的敏感性充分显示出来了. 3个初值差别如此小, 在物理上可能已无法分辨, 而把它们视为"同一"初值.
在前10步迭代过程, 它们几乎有相同的演化规律,即演化可预测, 但到了50步迭代后, 3个"同一"初值却产生了极不相同的结果, 好像演化规律出现了随机性. 这就是混沌现象.
n )1(41nnnxxx-=+
0 0.1 0.100 000 01 0.100 000 1
1 0.36 0.360 000 003 2 0.360 000 032 0
2 0.921 6 0.921 600 035 8 0.921 600 358 4
10 0.147 836 559 9 0.147 824 444 9 0.147 715 428 1
50 0.277 569 081 0 0.435 057 399 7 0.937 349 588 2
51 0.802 094 386 2 0.983 129 834 6 0.104 139 309 1
52 0.634 955 927 4 0.066 342 251 5 0.373 177 253 6
二,费根鲍姆常数
1978年费根鲍姆发现在周期倍化分叉过程中存在着普适常数. 设mλ为第m个分叉点的参数值,我们从图看到, 相邻分叉点间的间隔随着分叉过程是越来越小, 通过计算发现相邻分叉间隔之比趋于一个常数9990102609201669.4lim
1
1==
-
-
+
-
∞→
δ
λλ
λλ
mm
mm
m
这个常数具有普适性, 被命名为费根鲍姆常数.周期倍化分叉过程是一条通向混沌的典型道路, 不仅逻辑斯谛映射是这样, 实验证明许多混沌现象, 如受迫的倒摆振动中, 受迫的大幅度单摆运动中的混沌现象等都是通过这条道路产生的,这些过程中同样存在这个普适常数.
三,倒分叉
下面再来说明混沌区中存在的结构, 首先存在倒分叉的结构, 其次还存在许多周期窗口.
当参数λ从4开始逐渐减小时, 混沌区将发生倒分叉现象, 开始时混沌区是一整片, 但当λ减小到小于一个值6678.3)1(=λ时, 单片混沌开始变次,其数值从其中一个跳到另一个. 当λ再减小跨越6592.3)2(=λ时, 2片混沌又分为4片. λ继续减小, 将相继分化为8片, 16片, 32片……等等,分叉值 )3()2()1(,,λλλ收敛到.9569.3 这个倒分叉过程如图所示. 相邻分叉值间距比又收敛于费根鲍姆数, 即
δ
λλ
λλ
=
-
-
+
-
∞→
)1()(
)()1(lim
mm
mm
m
四,窗口
在4569.3≤≤λ的混沌区中还存在窗口(如图中画的一个), 它代表λ在某个范围内取值时, 终态是稳定的周期解, 这一事实在物理实验或计算机数值计算中能被观察到. 如在8856.34828.3≤≤λ区间存在一个窗口, 在828.3=λ时出现周期为3的解, 在图上呈现出3条曲线, 随着λ值继续增大,又会发生周期倍化分叉过程, 相继出现周期为24,12,6等解, 最初3条曲线每一条都演化成一个
混沌区, 共有3个混沌区; 在每一个混沌区中又上演着倒分叉过程, 并且在混沌区中同样也存在周期窗口.
我们看到在4~1=λ区间中的演化与在8856.3~4828.3=λ窗口中的演化是完全相似的,只是尺度不同而已. 这个从周期3开始的窗口称窗口3.除此窗口外还存在许多其他窗口.
如上所述, 在窗口3内的混沌区中也存在窗口,依上类推, 在这个更小的窗口内也将重复相似的演化. 所以, 从理论上可以想像, 这是一幅精美的图画, 显示出无穷套嵌着的自相似结构. 这些都说明混沌现象与随机现象有着根本区别.
本章着重介绍了20世纪60年代以来在非线性研究中揭示的混沌现象, 它产生于不可积系统,由于方程解的长期行为对初值十分敏感, 出现了貌似随机的行为. 在同一时期, 非线性研究中也揭示了与之相反的另一极端现象, 发现了孤立波(或孤立子) 的存在. 它产生于一批非线性完全可积系统, 它们的解具有规则性和出奇的稳定性,
说明非线性还在产生有序性方面有重要作用. 此外, 科学家也已找到求解这类非线性方程的普遍方法.

楼上好强！