杭州交通信息网山西忻州保德名人录:高一数学题
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/05/01 01:01:30
设定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=3
(1)求证：对任意x属于R，f(x)>0
(2)求证：对任意x，y属于R，f(x-y)=f(x)/f(y)
（请写出详解，谢谢）
(1)求证：对任意x属于R，f(x)>0
(2)求证：对任意x，y属于R，f(x-y)=f(x)/f(y)
（请写出详解，谢谢）
(1)
因为f(1)=3
所以f(2)=f(1)·f(1)=3*3=9
又因为f(1)=f(-1+2)=f(-1)·f(2)
所以3=f(-1)·9
f(-1)=3
因为f(1)=3
所以f(x)是偶函数
又因为f(1)=f(1)·f(0)
所以f(0)=1
所以对于函数f(x)是一个最小值为1的偶函数
所以对任意x属于R，f(x)>0
（2）因为f(x+y)=f(x)·f(y)
所以f(x)=f(x-y+y)=f(x-y)·f(y)
所以f(x)=f(x-y)·f(y)
移项得到f(x-y)=f(x)/f(y)
所以对任意x，y属于R，f(x-y)=f(x)/f(y)