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北京四中
暑假专题四
复习专题：四边形
一、重点难点点拨：
[本章重点]：平行四边形的概念、性质及判定。
[本章难点]：平行四边形与各种特殊平行四边形之间的联系和区别、中心对称问题。
二、注意事项：
（1）一般四边形与特殊四边形的关系（见下图）

（2）在梯形中常用辅助线的位置）
1）过上底一端点，作一腰的平行线（如图(a)）。
2）过上底两端点，向下底作垂线（如图(b)）。
3）向上延长两腰构成三角形（如图(c)）。
4）过上底一端点作一对角线的平行线（如图(d)）。
5）连结上底一端点和一腰中点的直线与下底延长线相交，通过构造全等三角形，把梯形化成等积的三角形（如图(e)）。
6）过一腰的中点作另一腰的平行线（如图(f)）。
7）作梯形的中位线（如图(g)）。

三、四边形的概念是建立在三角形的基础上，是知识的扩展与深化。研究它的性质，常常是将四边形转化成若干三角形（即三角形奠基法），通过三角形的性质来研究，或者是运用作辅助线将四边形转化成三角形和平行四边形来讨论。至于矩形、菱形、正方形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。它们的判定方法也是平行四边形的基础上增加一些特定的条件。梯形的性质、平行线等分线段定理、梯形、三角形中位线定理的证明都是以平行四边形的有关定理为依据的。总之，上述内容均是平行四边形知识的综合运用。平行四边形的有关定理是证明两线段相等、两角相等、两直线平行或垂直的重要依据。
梯形也是一种特殊的四边形，它是平行四边形和三角形知识的综合。通过适当地添设辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形的组合图形，再运用三角形、平行四边形的知识去解决梯形的有关问题。把几何图形特殊化，从特殊化的图形中找出证明的思路，然后再回到一般图形加以证明，这是我们证明几何题的一种思维方法。在分析问题过程中，要善于运用变换（作辅助线），寻觅图形间的联系，汇聚已知条件和求证结论，发展、拓展解题思路，构造基础三角形（或直角三角形）、平行四边形（或矩形）进行计算与证明，以培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力及综合运用的能力。
四、典型例题：
例1 填空题：
1、多边形内角和为1620o，则它为________边形，多边形每一个内角都等于120o，则它为______多形。
2、菱形的两条对角线长分别为16cm和12cm，那么这个菱形的高是________cm。
解：1、∵(n-2)180o=1620o,
∴n=11.
∴(n-2)180o=n×120o, 3n-6=2n,
∴n=6.
2、菱形的面积为 =96(cm2),
菱形的边长为 =10(cm),
菱形的高为 =9.6(cm).

例2 如图，在□ABCD中，E是CD中点，F是AE中点，FC与BE交于G，求证：GF=GC。
分析：关于四边形的问题，通常转化为三角形的问题加以解决。
本题欲证FG=GC，由E为CD的中点只须证EG//DF 。欲证EG//DF，须证DHBE是平行四边形，即须证DE HB（DE//HB已知）。只须证DE=HB，这须证AH=HB，DE=AH。
欲证DE=AH，须证△DEF≌△AHF，这可由F是AE中点得证，故以上推理正确。
证明：连接DF并延长，交AB于H
∵ABCD为□，∴AB CD。
∵F为AE中点，∴AF=FE。
在△AFH与△DEF中，
∵∠DEF=∠HFA（对顶角相等），
AF=FE，∠DEF=∠FAH（两直线平行，内错角相等），
∴△AFH≌△EFD（ASA），
∴DE=AH，
又∵DE= CD，∴AH= AB，
即HB=DE，
∵HB DE，∴DHBE为□，即EG//DF，
∵E为CD中点，∴FG=GC。

例3、 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC与BD垂直相交于O，MN是梯形ABCD的中位线，∠DBC=30o。
求证：AC=MN。
（1997年南通市中考题第33题）

分析1：将AC平移至DE的位置，将梯形中的问题转化为△BDE中的问题。
证法1：如图，过D点作DE//AC交BC的延长线于E，∵AC⊥BD于O，
∴∠BDE=∠BOC=90o，
又∵AD//BC，∴四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD，DE=AC， ①
在Rt△BDE中，∴∠DBE=30o，
∴DE= BE= （BC+CE）= （BC+AD）。 ②
∵MN是梯形ABCD的中位线，
∴MN= （BC+AD）。 ③
由①，②，③得：MN=AC。
分析2：欲证AC= （AD+BC），只须证OA= AD，OC= BC，这可从AC⊥BD，∠DBC=∠ODA=30o出发得证。
证法2：∵ AC与BD垂直相交于O，
∴△BOC与△AOD都是直角三角形，
在Rt△BOC中，∵∠OBC=30o,
∴OC= BC，又∵AD//BC，
∴∠ADO=∠OBC=30o，
故同理有AO= AD。
∴AC=AO+OC= （AD+BC）.
∵MN是梯形ABCD的中位线，
∴MN= （AD+BC）.故AC=MN。

例4、 如图，，已知在□ABCD中，E、F在对角线BD上，并且BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形。
（1999年宁夏回族自治区中考试题）
证法1：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∴AD//CB
∴∠ADF=∠CBE.
又∵BE=DF,
∴△ADF≌△CBE.
∴AF=CE. 同理CF=AE。
∴四边形AECF是平行四边形.
证法2：如图，
连结AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AO=CO, BO=DO.
又∵BE=DF, ∴EO=FO.
∴四边形AECF是平行四边形.

例5、 已知：梯形ABCD中，∠A+∠D=90o, BC//AD(BC<AD)，M、N分别是BC和AD的中点，求证：2MN=AD-BC。
分析：本题运用平移变换过M点分别作与BA、CD的平行线，将∠A、∠D顺序移至∠MEF、∠MFE的位置，从而将问题集中到三角形中解决。

证明：如图，过点M分别作ME//AB，MF//CD分别交AD于E、F，则四边形AEMB和四边形FDCM均为平行四边形，且△MEF为直角三角形，这时MN是Rt△MEF斜边上的中线。
∴MN= EF= （AD-AE-FD）
= （AD-BM-MC）
= （AD-BC）.
∴2MN=AD-BC.