矮人火枪手 猎人:怎样证明任一整数5次方个位数字与原数个位数字相同?

来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/05/05 18:32:05
请给出穷举法以外的方法

任何一个数都可以表示成 A = 10*k + a 形式，其中k为任意整数、a为自然数（包括 0 ），那么有

A^5 = (10*k + a)^5
= (10*k)^5 + 5*(10*k)^4*a + 10*(10*k)^3*a^2 + 10*(10*k)^2*a^3 + 5*(10*k)*a^4 + a^5
= 10*M + a^5
即，其个位数仅由 A 的个位数 a 决定，然后使用遍历证明，a^5 具有循环周期 4。

证明：因为5次方的个位只关系到个位，所以设个位为a
a^5:a=1,a^5=1
a=2,a^5=2
a=3,a^5=3
...........
a=9,a^5=9
所以得证

问题可以简化为0到9十个数字的五次方个位数与原个位数相同。然后可以分类讨论，0，1，5，6的任何次方都与原数相同。然后看2，3，4，7，8，9都符合题目。所以可以得证。

我的方法是属于分类后穷举，希望大大给出更好的证明。

先证明一位数的,直接算出来就好
1^5=1;......9^5=59049
然后多位数分解为个位加(其他位*10),
A=a*10+b(b为小于10 的整数)
然后展开,最后一项就是原个位数的五次方,其他项个位都应该是零(因为都乘了10的n次方),
A^5=(a*10+b)^5
=(a*10)^5+...+b^5
=a^5 * 10^5 +...+ b^5
再由第一步的结果就知道b^5的个位为b
所以......

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