圣彼得大教堂的穹顶:定义在(0,+∞)上的函数f(xy)=f(x)+f(y); 求证f(x/y)=f(x)-f(y)

来源：百度文库编辑：杭州交通信息网时间：2024/05/04 18:42:35

要详细解答

解:x,y∈(0,+∞)即1/y∈(0,+∞)
由函数f(xy)=f(x)+f(y);可得
f(X)=f(x/y*y)=f(x/y)+f(y)
即f(X)=f(x/y)+f(y)
移项得f(x/y)=f(x)-f(y)

解:
y∈(0,+∞)
所以1/y∈(0,+∞)
f(x*(1/y))+f(y)=f(x*(1/y)*y)=f(x)
f(x/y)=f(x)-f(y)

以上的都好厉害啊！
我讲一种比较另类的证法：
设Y=1 由f(xy)=f(x)+f(y) 得
f(x)=f(x)+f(1) 所以 f(1)=0；
f[x*(1/x)]=f(x)+f(1/x)=0
即f(x)=-f(1/x)
所以
f(x/y)=f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y)
f(x/y)=f(x)-f(y)

推理（我才高一，知识有限，推理仅供参考）：
因为f(xy)=f(x)+f(y)
即输入x和y值分别代入f法则，和输入xy值是一样的
可以推出f(x)是对数函数
所以很容易就推出f(x/y)=f(x)-f(y)

解令m=xy>0 则 y=m/x
f(m)=f(x)+f(m/x)
移项 f(m/x)=f(m)-f(x)
把m换成x x换成y
得证

解：∵y∈(0,+∞)
∴1/y∈(0,+∞)
∴f[x×(1/y)]+f(y)=f[x×(1/y)×y]=f(x)
∴f(x/y)=f(x)-f(y)

定义在(0,+∞)上的函数f(xy)=f(x)+f(y); 求证f(x/y)=f(x)-f(y) f(x)是在定义(0,+∞) 上的增函数且f(xy)=f(x)+f(y) 求证:f(x/y)=f(x)-f(y) f(x)是在定义(0,+∞) 上的增函数且f(xy)=f(x)+f(y) 求证:f(x/y)=f(x)+f(y) 设f(x)是定义在（0，+∞）上的函数，且f(x/y)=f(x)-f(y),求证f(1)=0=f(x)+f(y) 定义在R上的函数满足：f(x)=f(4 - x)且f(2 -x)+f(x - 2)=0,求f(2000) 已知定义在R上的函数f(x)对于任意的实数x.y,均有f(x+y)=f(x)f(y),且f(x)≠0,求证f(-x)=1/f(x) 定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),当m>0时，f(x+m)<f(x),则不等式f(x)+f(x^2)<0的解集是？对定义在R上的函数f(x)有:f(x^3)=f^3(x),且是单调函数,求f(0)+f(1)+f(-1)=? 对定义在R上的函数f(x)有:f(x^3)=f^3(x),且是单调函数,求f(0)+f(1)+f(-1)= 定义在R上的函数对于任意的x,y属于R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),f(0)≠o,求证:f(0)=1