杭州交通信息网音乐的最高境界是无词:[数学]证明题
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/05/03 02:17:25
a=b*q+r(a,b,q,r都属于Z+)
如果一个数能同时整除a和b,则必能同时整除b和r
如果一个数能同时整除a和b,则必能同时整除b和r
证明：假设一个数h
由于h同时整除a和b，所以h整除a,得数为m，h整除b,得数为n。
反正法：假设一个数h同时整除a和b,不能同时整除r，设得数为e，余数为c；
既有：hm=hn*q+eh+c
hm=h(n+e)+c
显然：出现余数，假设不成立。
因此：如果一个数能同时整除a和b,则必能同时整除b和r
证明:
一个数能整除a,就是能整除b*q+r，
一个数能整除b，那么就能整除b*q，
由上面所述，这个数则必能整除r
而能整除b就是题目假设，
所以，必能同时整除b和r。
设正整数x满足x|a,且x|b, 则存在正整数m,n使得a=mx,b=nx, 因此r=a-bq=mx-qnx=(m-qn)x. 由于m,q,n均为整数，故(m-qn)为整数。由r,x为正数知m-qn>0. 所以x|r成立，又已知x|b，故x同时整除b和r.