杭州交通信息网湖北个人社保缴费查询:高一函数问题 悬赏5分
来源：百度文库 编辑：杭州交通信息网 时间：2024/04/30 08:15:30
已知函数f(x)=lg(x+a/x-2),其中a是大于0的常数.
（1）求函数f(x)的定义域.
（2）当a∈（1,4）时,求函数f(x)在(2,+∞)上的最小值.
(3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.
(2)中不是(2,+∞),而是[2,+∞)
（1）求函数f(x)的定义域.
（2）当a∈（1,4）时,求函数f(x)在(2,+∞)上的最小值.
(3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.
(2)中不是(2,+∞),而是[2,+∞)
1)为使lg(x+a/x-2)有意义，x≠0，x+a/x-2>0。
x<0时显然有x+a/x-2<0。
x>0时，由均值不等式
x+a/x-2≥2√a-2，等号当且仅当x=√a时成立。
当2√a-2>0即a>1时，定义域为(0,+∞)。
当2√a-2≤0即0<a≤1时，
解x+a/x-2>0得定义域为(0,1-√(1-a))∪(1+√(1-a),+∞)
2)a∈(1,4)时，x+a/x-2≥2√a-2，等号当且仅当x=√a时成立。
但√a∈(1,2)，因此x≠√a。
由函数y=x+a/x-2在[√a,+∞)上单增，
可知原函数f(x)=lg(x+a/x-2)在[√a,+∞)上单增。
因为√a<2，所以当x=2时f(x)有最小值lg(a/2)。
（怀疑题有误，x范围为[2,+∞)。如果是开区间，取不到最小值。）
3)f(x)>0即为x+a/x-2>1，x+a/x-3>0。
若函数y=x+a/x-3在[2,+∞)上能取到x=√a的极值，
则√a≥2，2√a-3>0，解得a≥4。
若取不到该极值，则由2)所述，当x=2时y=x+a/x-3有最小值a/2-1。
此时√a<2，a/2-1>0，解得2<a<4。
故a的取值范围是(2,4)∪[4,+∞)=(2,+∞)
1 0<x<2